برمجية

 حاسبة

           استراتيجيات حل المشكلات الرياضية

كتب G5

-  استراتيجية التخمين والتحقق (Guess and Check)

- استراتيجية بناء جدول (Make a Table)

- استراتيجية البحث عن نمط (Look for a Pattern)

- استراتيجية البدء من النهاية (Work Backward)

- استراتيجية التمثيل البصري (Visual Representation ) 

- استراتيجية كتابة معادلة (Write an Equation)

- استراتيجية التبسيط (Simplify the Problem)

- استراتيجية النمذجة الرياضية ( Mathematical Modeling )

-  استراتيجية التجربة المنظمة (Systematic Listing)

- استراتيجية تطبيق قاعدة أو قانون ( قانون المتتاليات )

 

 

 

 

 

 

   استراتيجيات حل المشكلات 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية التخمين والتحقق

 

 (Guess and Check)

 

حل المشكلة بالتخمين المبدئي لقيمة المجهول ثم التحقق مما إذا كانت تحقق شروط المشكلة، وتكرار العملية حتى الوصول للحل الصحيح


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 استراتيجية البحث عن نمط

 

 (Look for a Pattern)

 

حل المشكلة عن طريق ملاحظة نمط أو تسلسل بين القيم لتحديد الحل أو التنبؤ بالقيم المستقبلية


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 استراتيجية كتابة معادلة

 

 (Write an Equation)

 

تحويل (ترجمة) صياغة المشكلة  إلى معادلة واحدة تمثل العلاقة بين الأعداد والمجهول، ليتم حلها مباشرة.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 استراتيجية بناء جدول

 

 (Table Strategy)

 

تنظيم البيانات والمعلومات في جدول مرتب لتوضيح العلاقات بين الكميات ورؤية النمط أو الحل بطريقة منظمة.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

استراتيجية التمثيل البصري

 

 (Visual Representation ) 

 

 

تمثيل المشكلة باستخدام رسوم، أشكال ، أو أي تمثيل بصري لتوضيح العلاقات بين الكميات مما يسهل فهم المشكلة والوصول للحل .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 استراتيجية البدء من النهاية        

 

  (Working Backwards)      

 

حل المشكلة بالبدء من النتيجة النهائية، ثم الرجوع خطوة خطوة للخلف للوصول إلى الحل

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 استراتيجية التجربة المنظمة

 

 (Systematic Trial)

 

حل المشكلة بتجربة جميع الاحتمالات بطريقة منظمة لضمان العثور على الحل الصحيح دون إغفال أي خيار

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 استراتيجية تبسيط المشكلة

 

 (Simplifying the Problem)

 

حل المشكلة بتبسيط الأعداد أو الظروف المعقدة إلى حالات أصغر وأسهل، ثم استخدام الحل المبسط للوصول إلى حل المشكلة الأصلية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون معروف

 

 (Writing a Rule/Formula)

 

حل المشكلة بتحديد( اكتشاف) قاعدة أو قانون رياضي عام يمثل العلاقة بين الكميات، بحيث يمكن استخدامه لحل المشكلة الحالية أو مشكلات مشابهة مستقبلًا. 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 


==========================================================================================

 

 

 

 

 

نشاط

 

مصنع ثلج يمكنه انتاج 1000 مكعب طول ضلع الواحد منها يساوي1 سم .

 اذا أراد أن ينتج مكعبات بطول 2 سم باستخدام نفس الكمية من الماء

فكم مكعب يمكنه أن ينتج ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

كم عدد المكعبات 1في1

 

كم عدد المكعبات   2في2

 

 

 

 

 

نشاط

 

نجار يمكنه قص لوح خشبي الى 100مربع صغير طول ضلع الواحد منها يساوي1 سم .

 اذا أراد أن ينتج مربعات  بطول 2 سم باستخدام لوح مماثل

       فكم مربعا يمكنه أن ينتج ؟

 

 

 

 

100 مربع بطول 1 سم

 

 

 

 

 

 

25 مربع بطول 2 سم

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

كم مربعا بطول  5 سم يمكن عملها بلوح مماثل ؟

 

 

 

 

 

 

4 مربعات بطول 5 سم

 

 

 

 

 

 

ما الاستراتيجية المستخدمة

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

في احدى قاعات الأفراح كل الطاولات من النوع

السداسي المنتظم  مرصوصة الى جوار بعضها

اذا كان عدد الطاولات 37

فكم عدد الكراسي

 

 

 

 

 

 

 

هل استراتيجية التخمين والتحقق مفيدة لحل المشكلة؟

ما القاعدة العامة التي تربط بين عدد الكراسي وعدد الطاولات؟

 

 

 

 

 

 

الاستراتيجيات الممكنة

 استراتيجية تبسيط المشكلة

 استراتيجية بناء جدول

 استراتيجية التجربة المنظمة

استراتيجية التمثيل البصري

استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

في احدى قاعات الأفراح كل الطاولات من النوع

  مرصوصة الى جوار بعضها بالطريقة

اذا كان عدد الطاولات 37

فكم عدد الكراسي؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

كل الطاولات من نوع 4 كراسي + 2 كرسي

 

ك= 4ط +2

 

 

 

 

الطاولات الداخلية فقط من نوع  4كراسي + 2 طاولة من نوع 5 كراسي

 

عدد الكراسي  يساوي

 4( ط -2) +10

يساوي

ك= 4ط +2

 استراتيجية بناء جدول

   

عدد الطاولات عدد الكراسي الفرق
1 6 -
2 10 4
3 14 4
4 18 4
5 22 4
6 26 4
7 ؟ ؟
ن ؟ ؟

  الفرق بين حالتين متتاليتين 4 كراسي

عدد الكراسي  يساوي

 4( ط -2) +10

يساوي

ك= 4ط +2

 

 

 

الربط بين الجبر والهندسة  حيث يمكن تمثيل النقاط من الجدول

عدد الطاولات س عدد الكراسي ص
1 6
2 10
3 14
4 18
5 22
6 26
7 ؟
ن ؟

 

على شبكة التربيع

ميل المستقيم =4

الجزء المقطوع من محور الصادات معتدلة المستقيم

ص= 4س +ب

 

 

 

نشاط

 

ما القاعدة في حال كانت الطاولات ثمانية الشكل

 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

ما العلاقة التي تربط بين عدد الكراسي وعدد الطاولات ؟

كل الطاولات سداسيية و2 كراسي في الطرفين

الكراسي ك

الطاولات ط

 

 

ك= 6ط +2

 

 

 

 

 

كل الطاولات الداخلية  سداسيية وطاولتين فقط كل طاولة 7 كراسي

الكراسي ك

الطاولات ط

ك=6(ط -2) +14

ك= 6ط+2

بالطريقة السابقة يمكن بناء جدول واستنتاج النمط والقاعدة

والتمثيل على شبكة التربيع وكتابة معادلة الخط المستقيم

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

ما السؤال ؟

 

ما الاسترتيجة المناسبة ؟

 

 

 

 

 

 

 

السؤال كم عدد النقاط في الشكل رقم خمسين؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

هل تفيد استراتيجية التخمين والتحقق ؟

 

 

 

 

 

 

 

ما ذا عن استراتيجية

- بناء جدول

- البحث عن نمط

- كتابة معادلة

عدد النقاط

الشكل

9

1

12

2

15

3

18

4

21

5

 

 

 

 

 

الاستفادة من الفرق الثابت بين كل حدين متتاليين

الفرق

عدد النقاط

 الشكل

----

9

1

3

12

2

3

15

3

3

18

4

3

21

5

هل لاحظت أن :

الحد الخامس تكرر فيه الفرق 4 مرات 

الحد الرابع تكرر فيه الفرق 3  مرات 

الحد الثالث تكرر فيه الفرق 2  مرة

الحد ن تكرر فيه الفرق (ن-1)  مرة

 

 

 

هل ممكن استنتاج قاعدة ؟

الحد الخامس = الحد الأول + 4ضرب الفرق

الحد الرابع = الحد الأول +3 ضرب الفرق

الحد النوني

an=a1+(n-1)d

 

 

 

 

 

 

 

الاستراتيجية المناسبة  

 استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 (Writing a Rule/Formula)

 

حل المشكلة بتحديد قاعدة أو قانون رياضي عام يمثل العلاقة بين الكميات، بحيث يمكن استخدامه لحل المشكلة الحالية أو مشكلات مشابهة مستقبلًا. 

 

 قانون الحد العام لمتتالية حسابية

 

 

 

الحد النوني

an=a1+(n-1)d

d= الفرق بين حدين متتاليين

a1 = الحد الأول

n= رقم الحد

من الجدول نلاحظ ان الشكل الخامس فيه 21 نقطة

الفرق

عدد النقاط

 الشكل رقم
3

21

 5

نطبق القانون

an=a1+(n-1)d

الحد الأول =9

الفرق=3

الحد الخامس = 9 +4(3)=21

 

 

قانون بديل وسريع ( اعادة كتابة القانون )

an=a1+(n-1)d

an=a1+nd- d

an=nd + a1- d

 

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

3ن + 6

الحد الخامس = 3(5) +6 =21

الفرق

عدد النقاط

 الشكل رقم
3

21

 5

 

 

 

 

ماذا لو كان

السؤال كم مجموع عدد النقاط في كل الخمسين شكل الأولى ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

ما الاستراتيجية المناسبة ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

جدول المجموع

المجموع

عدد النقاط

 الشكل
9

9

1
21

12

2
36

15

3
54

18

4
75

21

5

       كيف حصلنا على مجموع الخمس حدود الأولى  ؟

      عدد الحدود 5

      الأول      9   نقاط

     الخامس     21 نقطة

      المجموع =  عدد الحدود (الأول +الخامس ) قسمة 2

                 = 5(9+21) قسمة 2= 75

 

 

 

 

 

مسئل محلولة مشابهة على الرابط

https://aghandoura.com/METEEBNEWNEW/LEVELS.htm

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

احسب عدد المربعات في الحد العاشر

 

 

لمعرفة قاعدة النظام قم ببناء جدول من خانتين واكتب عدد المربعات في كل حد كما يلي

الحد عدد المربعات
الأول 7
الثاني 12
الثالث 17

الرابع

 22

الخامس

 27

السادس

 32
ن  

 الفرق الثابت d=5

الحد النوني = 5ن+2

الحد الأول = الفرق +؟

7=5+2

الحد النوني = 5 ن +2

التأكد

الحد الخامس = 27     ن=5 رتبة الحد

الحد الخامس= 5 في 5 +2


 

 

 

 

 

البرمجية على الرابط

https://aghandoura.com/SIGMA/PAT.html

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ما الاستراتيجية المناسبة  

 

 

 

 

 

 

الاستراتيجية المناسبة  

 استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 (Writing a Rule/Formula)

 

حل المشكلة بتحديد قاعدة أو قانون رياضي عام يمثل العلاقة بين الكميات، بحيث يمكن استخدامه لحل المشكلة الحالية أو مشكلات مشابهة مستقبلًا. 

 

 قانون مجموع متتالية حسابية

 

 

 

 

نشاط

 

بدأ محمد بالتوفير فقرر أن يضع في اليوم الأول 100 ريال في الحصالة . وفي كل يوم يضع خمس ريالات زيادة

عن اليوم السابق . فكم ريالا يجب عليه أن يضع في يومه الخامس.؟

 

 

 

 

الحد ن = الأول  + الفرق ( ن -1)

أو

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

اليوم

 المبلغ

الفرق

1

100

      5    

2

105

3

110

  5

4

115

5

120

  5

6

125

ن

    

 

 

 

 العلاقة   5ن + 95

يمكن حساب العلاقة من الفرق ومبلغ اليوم الأول.

مبلغ اليوم الأول  = 10

الفرق =5 

العلاقة 

ايداع يوم محدد يمكن حسابه بالعلاقة

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

 

 

 

 

 

 

نشاط ما المبلغ الموجود في الحصالة بعد 30 يوم؟

 

 

 

 

 

ما الحد العاشرفي التسلسل؟

 1,3,5,7,9,11

 

 

 

 

الحد الأول =1

الفرق= 2

الجدول لمن لايعرف القاعدة

الحد

القيمة

الفرق

القاعدة

1

 1

     2    

   2ن - 1

2

 3

3

5

2

4

7

5

9

2

6

11

ن

    
     

 

العاشر يعني ن= 10

الحد الأول =1

الأساس (الفرق) = 2

الحد ن = الأول  + الفرق ( ن -1)

 الحد العاشر = الأول + 2(10- 1)

 الحد العاشر = 1 +  2(9)

 الحد العاشر = 19

قيمة الحد ممكن معرفته بالعلاقة :

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

 

 

 

 

 

 

نشاط

نشاط ماذا لوكان المطلوب حساب مجموع ألخمسين حد الأولى من المتسلسة نفسها

1,3,5,7,9,11

بعد بناء جدول المجموع يمكن استنتاج قاعدة مجموع الأعداد الفردية

محموع الأعداد الفردية = مربع عددها

فالمتتالية السابقة عدد حدودها خمسة حدود ومجموع حدوها الستة =ستة تربيع=36

نصف (الأول +الأخير )( عدد الحدود )

 

 

 

 

 

 

 

 استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 (Writing a Rule/Formula)

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

عددان مجموعهما 25، وحاصل ضربهما 144. أوجد العددين.

 

 

 

 

 

 

 

 

 استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 

 العددان س و (25- س)

س (25- س) = 144

25س - س2=144

 

س2 - 25س +144= 0

 (س-9)(س-16)=0

س=9

س=16

 

  ممكن حله باستراتيجية التخمين والتحقق

 

 

 

 

 

استراتيجية التخمين والتحقق

 

 (Guess and Check)

 

 

حل المشكلة بالتخمين  لقيمة المجهول ثم التحقق مما إذا كانت تحقق شروط المشكلة، وتكرار العملية حتى الوصول للحل الصحيح


نخمن حلاً، ثم نتحقق إن كان يحقق الشروط، ونعدّل التخمين حتى نصل للحل الصحيح.

 

 

 

 

 

 

  

تخمين عجلتين عجلات 3 عجلاات عجلات مجموع مقارنة
1 3 6 3 9 15 اكبر
2 4 8 2 6 14 صحيح
3            
             

 

 

التمثيل البصري

 

 

 

2 دراجة من نوع 3 عجلاات

 

 

 

 

 

نشاط

 

في حفلة مدرسية، كان عدد الحضور ٨٠ شخصًا.

سعر تذكرة الطالب ١٠ ريالات، وسعر تذكرة المعلم ٢٥ ريالًا.

إذا كان إجمالي الدخل من التذاكر ١٢٢٠ ريالًا،

فكم عدد الطلاب وكم عدد المعلمين؟

 

 

 

 

 

 

نخمن قيم لعدد الطلاب ونختبر (الدخل من الطلاب + الدخل من المعلمين )

شرطين العدد الكلي 80 شخص و الدخل الاجمالي 1220ريال

ت عدد الطلاب دخل الطلاب عدد المعلمين  دخل المعلمين الدخل 1220
1 70 700 10 250 950 أقل
2 60 600 20 500 1100 أقل
3 50 500 30 750 1250 أكبر
4 52 520 28 700 1220 يساوي

 في أربع خطوات وصلنا للحل

 

 

 

 

 

 

هل ممكن تقليل عدد التخمينات؟

 

 

 

 

 

 

 

الدخل الحقيقي 1220ريال

ماذا لو فرضنا أن عدد الطلاب = 40 وعدد المعلمين = 40

ت عدد الطلاب دخل الطلاب عدد المعلمين  دخل المعلمين الدخل 1220
1 40 400 40 1000 1400 أكبر

الفرق بين هذا الدخل والدخل الحقيقي 180 ريال

الفرق بين تذكرة المعلم وتذكرة الطالب 15 ريال

استبدال معلم واحد بطالب واحد يقلل الدخل 15 ريال

 نحتاج تقليل 180 ريال باستبدال 12 معلم

180 قسمة 15 = 12

 فيكون عدد المعلمين 40 ناقص 12= 28 معلم

 عدد الطلاب 52 طالب

 

 

 

 

 

 

 

هل ممكن الحل في خطوة واحدة ؟

 

 

 

 

 

الحل في خطوة واحدة:

الدخل الحقيقي 1220 ريال

اذافرضنا أن كل الحضور طلاب . الدخل الافتراضي 800 ريال 

الفرق بين الدخل الحقيقي والدخل الافتراضي 1220 ناقص 800 = 420 ريال

الفرق بين قيمة تذكرة المعلم وتذكرة الطالب =  25  -  10 =15 ريال

عدد المعلمين = الفرق بين الدخلين قسمة الفرق بين سعر تذكرة المعلم وسعر تذكرة الطالب

عدد المعلمين = 420 قسمة 15= 28 معلم

عدد الطلاب = 80 - 28= 52 طالب.

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 

 

 

 

 

 

في حفلة مدرسية، كان عدد الحضور ٨٠ شخصًا.

سعر تذكرة الطالب ١٠ ريالات، وسعر تذكرة المعلم ٢٥ ريالًا.

إذا كان إجمالي الدخل من التذاكر ١٢٢٠ ريالًا،

فكم عدد الطلاب وكم عدد المعلمين؟

 

 

 

 

 

 

T+S=80

25T+10S=1220

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

عددان مجموعهما 100، والفرق بينهما 50

ما العددان

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

x+y=100

x-y=50

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية التخمين والتحقق

 

 (Guess and Check)

 

 

 

 

 

• نخمن 60 و  40

الفرق 20

• نخمن 70 و 30  

الفرق 40

 نخمن 80  و  20

الفرق 60

نخمن 75 و 25

الفرق 50

 العددان 75  و  25    

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

ماالعددان اللذان مجموعهما 117 والفرق بينهما 17 ؟

 

 

 

 

ما الاستراتيجية المناسبة  

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 

x+y=117

x-y=17

 

 

 

مزيد من التمارين المحلولة

https://www.aghandoura.com/The%20ratio/main.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

طريقة ابداعية بدون معادلاات

 

ماالعددان اللذان مجموعهما 117 والفرق بينهما 17 ؟

 

 

 

 

تتلخص الطريقة في الخطوات التالية :

- حساب الفرق بين مجموع العددين والفرق بينهما

- قسمة الفرق بين مجموع العددين والفرق بينهم على 2 ينتج العدد الأصغر

المثال :

117 ناقص 17

يساوي 100

العدد الأصغر= نصف الفرق  أي  100   قسمة 2

الأصغر= 50

العدد الأكبر = المجموع - الأصغر

الأكبر= 117- 50

67= الأكبر

===============================================================================

 

 

 

 

 

  أرض مستطيلة الشكل  محيطها 500 وعرضها يساوي ربع طولها احسب مساحة الأرض

 ما الاستراتيجية المناسبة للحل ؟

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

الطول + العرض= 250

الطول = 4(العرض )

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية بناء جدول

 

 (Table Strategy)

 

تنظيم البيانات والمعلومات في جدول مرتب لتوضيح العلاقات بين الكميات ورؤية الحل بطريقة منظمة.

 

 

 

 


الفكرة:

تنظيم المعطيات في جدول يساعد على رؤية الحل بسهولة.

 

 

 

 

 

نشاط

صف خامس ابتدائي

لدى محمد 258 ريال . سعر كيلو العنب 18 ريال . سعر كيلو الموز 22 ريال .

اشترى محمد عدد من كيلوات من العنب وعدد من كيلوات من الموز. 

 ما الخيارات الممكنة من الكيلوات  من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟

 

 

 

 

 

الجدول

الحالة ع=18 المبلغ م=22 المبلغ المجموع الفرق الفرق
1 5 90 5 110 200 58  
2 6 108 6 132 240

18*

قيمة كيلو عنب
3 7 126 6 132 258    

 

  7 كيلو عنب بمبلغ    126

6 كيلو موز بمبلغ       132

 

 

 

 

 

 

طريقة أخرى؟

 

 

 

 

 

 

لدى محمد 258 ريال . سعر كيلو العنب 18 ريال . سعر كيلو الموز 22 ريال كم كيلو من كل نوع يمكنه أن يشتري ؟

أعداد صحيحة من الكيلوات

  اذا اعتبرنا أن محمد اشترى عنب فقط فكم كيلو يمكنه أن يشتري ب 258 ريال ؟

   258 قسمة 18 = 14,333333  

 14 كيلو بسعر اجمالي قدره 14(18)=252

 258-252=6 ريال

    اذا استبدلنا  واحد كيلو عنب بكيلو موز راح يزيد المبلغ 4 ريال ( الفرق بين سعر كيلو موز وكيلو عنب )

    نبدأ بتخمين 7 كيلو عنب و 7 كيلو موز

   المبلغ 258

الحالة عنب18 مبلغ موز22 مبلغ مجموع مقارنة
1 7 126 7 154 280 أكثر
2 7 126 6 132 258 نفس المبلغ

 

 

 

 

 

نشاط

عددان مجموعهما 25، وحاصل ضربهما 144. أوجد العددين.

 

 

 

 

 

 

 

 المجموع 25، وحاصل ضربهما 144

الحالة الأصغر الأكبر المجموع حاصل الضرب المساواة
1 12 13 25 156 لا
2 11 14 25 154 لا
3 10 15 25 150 لا
4 9 16 25 144 نعم

ملاحظ يمكن ترشيد عدد المحاولات باختيارعددين يكون آحاد حاصل ضربهما 4

 

 

 

يمكن الحل بكتابة معادلة

 الأول   س

الثاني (25- س)

 س (25- س) = 144

25 س - س تربيع = 144

س تربيع - 25س +144= صفر

(س-9)(س-16) = 0

الأول = 9

الثاني=16

التحقق

مجموعهما 25

حاصل ضربهما =144

 

 

 

 

نشاط

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

 

 

 

 

يمكن حل السؤال بأكثر من استراتيجية مثل :

التخمين والتحقق

بناء جدول

النمذجة الرياضية

التمثيل البصري

 

 

 

 

  التخمين والتحقق

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

 

 

 

 

 

 

 

  من المعطيات ثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر. وحيث ان الثلثين قريبة من الثلاثة أرباع يمكن التخمين أن العددين متساويان

  أحدهما 170 والآخر 170 ونظرا لأن 170 لا تقبل القسمة على ثلاثة نختار 180 ونختبر ذلك التخمين . الأول 180 الآخر 160

  ثلثا الأول 120 و ثلاثة أرباع الآخر 120 . وهما متساويان . وعليه الأول 180 والآخر 160

 

 

 

 

 

 

بناء جدول 

   قبل بناء الجدول يجب دراسة المعطيات . أحد المعطيات ثلثا الأول تعني أن الأول يجب أن يكون يقبل   القسمة على ثلاثة .

 
الحالة الأول الثاني ثلثا الأول ثلاثة أرباع الثاني المساواة
1 150 190 100 142,5 لا
2 180 160 120 120 نعم
3          

 

 

 

التمثيل البصري

النسبة

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 


 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

 

 

 

 

 

النسبة بين العددين

 

x+y= 340

8x=9y

 

 نكمل الحل بالتعويض

 

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

 

 (Visual Representation ) 

 

تمثيل المشكلة باستخدام رسوم، أشكال ، أو أي تمثيل بصري لتوضيح العلاقات بين الكميات مما يسهل فهم المشكلة والوصول للحل .


 

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

 

 

 

 

 

النسبة بين العددين

أحدهما 8 مربعات والآخر 9 مربعات

ثلاثة أرباع الثمانية = ثلثي التسعة

 

17  مربع= 340

المربع الواحد= 20

أحدهما 180

الآخر 160

 

 

 

 

نشاط

 

لدى محمد ضعف ما لدى صالح من المال . و بعد أن انفق صالح  ٤٨ ريال وأنفق محمد ١٢٠ ريال

أصبح لدى كل منهما المبلغ نفسه .

 فكم ريالاً بقي مع كل منهما ؟    

 

 

 

 

محمد ضعف صالح

 

محمد صرف 48 ريال

صالح صرف 120 ريال

 

 

الباقي مع كل منهما 24 ريال

كان مع صالح 72 ريال

كان مع محمد 144 ريال

التأكد

صالح = 72 - 48= 24

محمد= 144- 120=24

 

 

 

نشاط

عددان مجموعهما 100 والفرق بينهما 50

ما العددان ؟

 

نبدأ من المنتصف ونفرض أن العددين 50 و 50 الفرق صفر

المطلوب ان يكون الفرق بينهما 50

نصف هذا الفرق = 25

نضيف 25 الى احدهما ونطرح 25 من الآخر

الأكبر= 75

الأصغر=25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الميزان

https://nrich.maths.org/interactive-environments/interactive-balance

 

 

 

 

 

نشاط

عددان مجموعهما 25 وحاصل ضربهما

144 فما العددان ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

عددان مجموعهما 15 والفرق بينهما 3 ؟

 

 

 استراتيجية البحث عن نمط

 

 (Look for a Pattern)

 

حل المشكلة عن طريق ملاحظة نمط أو تسلسل بين القيم لتحديد الحل أو التنبؤ بالقيم المستقبلية

 

 

 

 
الهدف :

اكتشاف نمط  تسلسلي في أعداد أو أشكال للوصول إلى القاعدة العامة.

 

 

 

 

 

 

 

مثال على التسلسل في  الأعداد  

 

اكتشف قاعدة التسلسل

 3  6  9 12 15 18 21 .....

 

 

 

 

نكتب النمط  التسلسلي في الأعداد في جدول

للوصول إلى القاعدة العامة.

الجدول

الحد

القيمة

الفرق

القاعدة

1

3

  3    

   3ن

 

2

6

3

9

3

4

12

5

15

3

6

18

ن

    
     

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

 

 

 

 

مثال على التسلسل في الأشكال

 

 

 

 

بالنظر الى الشكل نجد أنه يسير وفق نمط معين والهدف هو اكتشاف هذا النمط

 

النمط

1 ,3 ,6, 10 ,15 , .....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

الاستعانة بجدول

1

الأول

1

2

الثاني

3

3

الثالث

6

4

الرابع

10

5

الخامس

15

6

الساس

21

7

    

 الثالث (3) و الرابع (4)  والخامس (5)

كيف نصل الى 10 ( الحد الرابع )  من 4 و 5 ؟

طبق ما توصلت اليه على

الرابع 10  و الخامس 15

كيف نصل الى 15 من 5  و6  ؟

 

1 3 6 10 15 21 .....

نحاول ايجاد طريقة نعرف بها معرفة قيمة حد معين من خلال رقم الحد والحد الذي يليه

بعد اختبار المحاولات نجد أن العشرة =( 4 في 5 ) قسمة 2

قيمة الحد = ( رتبة الحد ضرب الحد الذي يليه ) قسمة 2

من الجدول السابق نلاحظ أن

 

 

 

5

الخامس

15

الخامس=خمسة في 6 = 30 قسمة 2= 15

 

 

 

نشاط

 

 

 

 

 

 

  استراتيجية البدء من النهاية. 

 

  (Working Backwards)     

 

حل المشكلة بالبدء من النتيجة النهائية، ثم الرجوع خطوة خطوة للخلف للوصول إلى الحل

 

 

 

 

نشاط

يوفر سلطان يوميا مبلغ من المال يساوي ضعف المبلغ الذي يوفره في اليوم السابق

اذا كان قد وفر 48 ريالا في اليوم الرابع .فكم ريال وفرفي يومه الأول ؟

 

نبدأ من اليوم الرابع الى الثالث الى الثاني الى الأول

 

اليوم المبلغ
الأول 6
الثاني 12
الثالث 24
الرابع 48
   
   

 

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

لدى باسم 1176 ريال ولدى وليد750 ريال . تصدق كل منهما بنفس المبلغ . بقي مع وليد ثلث ما بقي مع باسم .

فكم المبلغ المتصدق به؟

 

 

 

 

               

 

 

=537

 

الفكرة:

نبدأ من النتيجة النهائية ونعمل عكسيًا حتى نصل إلى البداية.

 

 

 

نشاط

 

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

 لدى محمد مبلغ من المال صرف نصفه  ثم صرف ثلث الباقي  فأصبح لديه 20ريالا

فكم كان معه بداية ؟

 

 

 

 

         

            

المبلغ= 60 ريال

 

 

 

  استراتيجية البدء من النهاية. 

 

  (Working Backwards)     

 

نبدأ بالعكس : آخر مرة صرف ثلث المبلغ الأخير وبقي 20 ريال هذا الباقي (20) يمثل ثلثي المبلغ السابق وعليه الثلث = 10

يعني أن كامل المبلغ = 30

وعليه يكون المبلغ السابق 30 ريال وهذا يمثل نصف ما كان عنده بداية .

المبلغ في البداية كان 60 ريال .

 التأكد :

كان عنده 60ريال صرف نصفها اصبح معه 30 ريال .

كان عنده 30ريال صرف ثلها أي صرف 10

اذا الباقي ثلثين وهو يعادل ما بقي معه 20

وبالتالي الحل صحيح

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

 

 (Visual Representation ) 

 

 

 

 

نشاط

 

4 ورقات من فئة الخمس ريال بمجموع 45 ريال

5 ورقات من فئة العشرريال بمجموع 50 ريال

 

 

 

 

يصرف محمد خمسي راتبه على المسكن و نصف الباقي من الراتب يصرفه على المعيشة

ويبقى معه 900 ريال .فكم راتبه.؟

 

 

 

الراتب

خمسي الراتب على السكن

 

 

الباقي              

 

 

 

الفكرة:

رسم شكل أو مخطط يساعد على فهم المعطيات والعلاقات.
 

 

 

 

 

 

نشاط

 نصف ما محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح . فاذا كان مجموع ما معهما 150 ريال .

فكم كان مع كل منهما ؟

 

 

 

 

نحسب النسبة بينهما نصف الى 3 أرباع

نصف على ثلاثة أرباع = أربعة على ستة

 

محمد+ صالح= عشر مربعات =150 ريال

كل مربع =15 ريال

محمد 90 ريال

صالح 60 ريال

 

 

 

 

 

نشاط

 

لدى محمد ثلثي ما لدى صالح فاذ كان مجموع ما معهما معا 160 ريال.

 فكم كان مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

 لدى محمد نصف ما مع صالح .اذا أعطى صالح 27 ريال لمحمد يصبح مع كل منهما المبلغ نفسه .

 فكم مع كل منهما ؟

 

 

 

 

بداية ما مع محمد = نصف ما مع صالح

    

بعد اعطاء صالح 27 ريال لمحمد صار مع كل منهما المبلغ نفسه

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

 لدى محمد أربعة أضاعف ما مع صالح .اذا أعطى صالح 210 ريال لمحمد يصبح مع كل منهما المبلغ نفسه .

 فكم مع كل منهما ؟

 

 

 

 

محمد يعطي صالح مربع ونصف مربع وهو يعادل 210

وعليه تكون قيمة المربع الواحد 70 ريال

صالح = 70 ريال

وحمد 280 ريال

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 


 

 

 


 

الفكرة:

نحوّل المسألة  إلى معادلة رياضية ونحلها.
 


 

 

 

 

نشاط

شركة نقل لديها حافلات من نوعين. النوع الأول حمولة 40 راكب. والنوع الثاني حمولة 45 راكب .

اذا نقلت الشركة 505 أشخاص في  12 حافلة من النوعين . فكم حافلة من كل نوع؟

 

 

 

 

 

 

يمكن الحل:

- التخمين والتحقق

- بناء جدول

الحل بنظم المعادلات ( معادلتين في مجهولين )

نفرض أن :

عدد حافلات من النوع الأول  x

عدد حافلات من النوع الثاني y

x+y=12

40x+45y=505

نكمل الحل

 

 

 

أو بمجهول واحد

النوع الأول  x

النوع الثاني 12 ناقص X

نكمل الحل

 

 

 

 

 

 

 

 حل ابداعي بدون معادلات لطالب ابتدائي

 

 

 

 

 

 

نجرب الحافلات الأقل حمولة

12 حافلة بالحمولة الأقل = 480 شخص

المطلوب 505

الفرق 505-480= 25

الفرق بين حمولة الحافلتين = 45-40= خمسة ركاب

الفرق بين الحمولةالمطلوبة والحمولة الأقل  هو 20 شخص

عدد الحافلات الكبيرة = ( فرق بين حمولة الركاب) قسمة (الفرق بين حمولة الباصين )

عدد الحافلات الكبيرة= 5

عدد الحافلات الصغيرة = 7

التأكد 5 في 45 =225

7 في 40= 280

عدد االحافلات 12

الحمولة 505

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 

 

 

 

 

 

 

x+y=12

 

40x+45y= 505

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

 

 (Visual Representation ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

بجعل كل الباصات من النوع 40 راكب

        

العدد الكلي 505 راكب

الباقي= 505 - 480= 25 راكب

استبدال باص واحد حملة 45 راكب يزيد عدد الركاب خمسة 

نحتاج خمس باصات من النوع 45 راكب

========================================================================

 

 

 

نشاط

 

مجموع ما مع محمد وصالح 500 ريال . فاذا كان ثلثا ما مع صالح

و ثلاثة أرباع ما مع محمد 340 ريال . فكم ريال مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

 

 

 

 

 

 

المعادلة الأولى    

      #1

المعادلة الثانية       ثلثي محمد + ثلاثة أرباع صالح = 340

   # 2

بطرح #2  من #1

  #3

بضرب #3  في اثنين لوجود ثلثين في المعادلة #2

  # 4

 بطرح # 4 من #2

  

    # 2

 

   # 4

ينتج

محمد = 80     ثلثا محمد

ثلثا ما مع صالح =280

و ثلاثة أرباع ما مع محمد  = 60 ريال

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

مجموع ما مع محمد وصالح 500 ريال . فاذا كان ثلثا ما مع صالح و ثلاثة أرباع ما مع محمد340 ريال .

  فكم ريال مع كل  منهما ؟

 

 

 

 

المعادلة الأولى     محمد + صالح = 500

ثلثا صالح +ثلاثة أرباع محمد = 340

نكمل الحل

 

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

 (Visual Representation )

في المسألة :

ثلثا صالح

من أجل ذلك نمثل محمد ب ثلاث مربعات بلون

 

صالح

ثلاثة أرباع صالح

من أجل ذلك نمثل صالح بأربع مربعات بلون مختلف

  محمد

محمد + صالح = 500

+ =  500      ( 1 )

      ثلثي صالح    +     ثلاثة أرباع محمد= 340

+ = 340                       ( 2 )

بطرح  ( 2 )   من ( 1 )   نحصل على

+  = 160                                              ( 3 ) 

لوجود 3 مربعات من كل لون في  (1) نضرب المعادلة ثلاثة في 3  فنحصل على

 

بالتعويض بقيمة  ( 3 )  في المعادلة  ( 1 )  كالتالي :

( 1 )

  = 480             ( 4 )       

بطرح المعادلة 4 من المعادلة 1 نحصل على

= 20

= 80

محمد= 80

صالح = 500 ناقص 80= 420

من الممكن حل السؤال باستراتيجية بناء جدول

 

 

 

 

 

 

استراتيجية تبسيط المشكلة

 

 (Simplifying the Problem)

 

حل المشكلة بتبسيط الأعداد  إلى حالات أصغر وأسهل، ثم استخدام الحل المبسط للوصول إلى حل المشكلة الأصلية

نحل مسألة مشابهة لكنها أبسط، ثم نعمم الفكرة.

 



 

نشاط

 

ما مجموع الخمسين عدد فردي الأولى ؟

ما القاعدة التي تحكم هذا النظام ؟ 

 

 

 

 

لمن يعرف قاعدة مجموع الأعداد الفردية

 

الاستراتيجية المناسبة  

 

 استراتيجية كتابة قاعدة أو قانون

 

 (Writing a Rule/Formula)

 

 

حل المشكلة بتحديد قاعدة أو قانون رياضي عام يمثل العلاقة بين الكميات، بحيث يمكن استخدامه لحل المشكلة الحالية أو مشكلات مشابهة مستقبلًا. 

 

 مجموع عدد من الأعداد الفردية = مربع عددها

 

 

 

 

 

لمن لا يعرف هذه الاستراتيجية تكون

استراتيجية تبسيط المشكلة

هي الأنسب

 (Simplifying the Problem)

 

 

 

 

تكمن فكرة التبسيط في البحث عن  أعداد فرية أقل من  50 لمعرفة الحل مجموعها

يمكن أن يكون الحل بأكثر من استراتيجية :

 استراتيجية بناء جدول

المجموع

الترتيب

#

1

1

1

4

3

2

9

5

3

16

7

4

25

9

5

ن تربيع

  

ن

اكتشاف نمط من الجدول

 

 

 

 

 

كما يمكن حلها باستخدام  :

استراتيجية التمثيل البصري

 (Visual Representation )

 

 

 

 

 

 

مساحة

مجموع

#

واحد في واحد

1

اثنين في اثنين

2

ثلاثة في ثلاثة

3

أربعة في أربعة

4

ن في ن

  

ن

يمكن استخدام قاعدة مجموع متوالية

 

 

 

 

 


 

نشاط

أعطى محمد لكل من أبنائه سالم وصالح المبلغ نفسه .اشترى سالم 15 دفتر وبقي معه 15 ريال.

اشترى صالح 10 دفاتر وبقي معه 35 ريال

فكم قيمة الدفتر؟

 

 

 

 

 

يمكن حل النشاط بعدد من الستراتيجيات منها

- كتابة معادلة ( معادلة واحدة)

- التخمين والتحقق

- بناء جدول

- الصور البصري

 

 

 

 

 

 

 

 

- كتابة معادلة ( معادلة واحدة)

15د+15= د10+35

5د=20

د = 4 ريال

 

 

 

 

 التخمين والتحقق

15دفتر+15 = سالم

  10دفاتر+35=  صالح

 

  التساوي المجموع

 

 الباقي

 

  دفاترصالح

 10

 المجموع الباقي دفاتر سالم

 

 قيمة الكتاب
  لا 65 35 30 60

 

 15

 

 45 3
  نعم 75 35 40 75 15 60 4
                 


 

 

- بناء جدول

15دفتر+15 = سالم

  10دفاتر+35=  صالح

التساوي كتب صالح +35 كتب صالح كتب سالم +15

كتب سالم

 قيمة الكتاب
لا 55 20 45 30 2
لا 65 30 60 45 3
نعم 75 40 75 60 4

 

 

 

 

 

- الصور البصري

15دفتر+15 = سالم

الدفتر= 4 ريال

 

 

 

 

 

استراتيجية التجربة المنظمة

 

 (Systematic Trial)

 

حل المشكلة بتجربة جميع الاحتمالات بطريقة منظمة لضمان العثور على الحل الصحيح

دون إغفال أي خيار

نكتب جميع الاحتمالات الممكنة بطريقة منظمة دون تكرار.

 

 

 

 

نشاط

 

تقابل 5 أشخاص في مطعم فاذا صافح كل منهم الآخر

فكم عدد المصافحات التي تمت ؟

 

 

 

 

 

 

الأول والثاني  الأول والثالث الأول والرابع   الأول والخامس

(1,2) , (1,3) , (1,4) ,(1,5)

(2,3) , (2,4) (2,5)

(3,4) ,(3,5)

(4,5)

الخامس

الرابع

الثالث

الثاني

الأول

4

3

2

1

  

7

6

5

 

9

8

   

10

     

 

 

 

1

2

3

4

المصافحات

 

عدد الأشخاص = 5

عدد المصافحات = 10

ما القاعدة العامة اذا  كان العدد ن ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

يوجد العديد من المشكلات الرياضية التي يمكن حلها بأكثر من استراتيجة

 

 

 

 

 

 

 نصف ما مع محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح ومجموع مامعهما معا يساوي 120 ريال

فكم ريال مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

 

 ما الاستراتيجيات الممكنة ؟

 

 

 

 

 

الاستراتيجيات الممكنة:

1- التخمين والتحقق 

 2- تبسيط المسألة بجعل النسبة بينهما النصف أو الثلث

3- كتابة معادلة

4- التمثيل بالرسم

5- التمثيل بالنماذج ( مربعات أو مكعبات )

 

 

 

 

 

 

استراتيجية النمذجة الرياضية

 

 ( Mathematical Modeling )

 

تمثيل المشكلة رياضيًا باستخدام معادلات متعددة أو رموز لتوضيح العلاقات بين الكميات، بهدف فهم المشكلة وحلها رياضياً 


 

 

 

 

 

 

نشاط

 نصف ما مع محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح ومجموع مامعهما معا يساوي 120 ريال

فكم  ريال مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

ما مع محمد = m

ما مع صالح = s

  #1

بالضرب في اثنين

   2#    

 #3         

بضرب الطرفين في الوسطين والتبسيط نحصل على

   # 4     

 نعوض من #4 في #2

m=72

 

 

 

 

 

استراتيجية التمثيل البصري

 (Visual Representation ) 

 

 

 نصف ما مع محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح ومجموع مامعهما معا يساوي 120 ريال فكم ريال

مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

نصف ما مع محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح

 

نقسم نصف ما مع صالح الى 3 أجزاء ليتساوى مع ثلاثة أرباع ما مع صالح

 

 

 

عدد المربعات 10 تساوي 120 ريال كل مربع =12 ريال

ما مع صالح = 48 ريال

ما مع محمد 72 ريال

 

 

 

 

نشاط

 نصف ما مع محمد يساوي ثلاثة أرباع ما مع صالح ومجموع مامعهما معا يساوي 120 ريال فكم ريال

مع كل منهما ؟

 

 

 

 

 

 

أولا: حساب النسبة بين ما مع محمد الى ما مع صالح

 

ثانيا :

نستخدم مكعبات او مربعات لتمثيل ما مع كل منهما وفق النسبة

 

عشر مربعات =120

المربع الواحد =12

محمد = 72

صالح = 48

التأكد نصف ما مع محمد =36

ثلاثة أرباع ما مع صالح = 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

رابط معادلات ax+by=c

أنشطة اضافية محلولة