استراتيجيات حل المشكلات الرياضية
أنشطة اضافية مع الحل
مثال :
لدى محمد ١٠٠ ريال . سعر كيلو العنب ١٠ ريال . سعر كيلو الموز ٢٠ ريال . اشترى محمد عددا من كيلوات من العنب و كيلوات الموز. ما الخيارات الممكنة
من الكيلوات من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟
حسنًا، لنحل المسألة خطوة بخطوة.
المعطيات:
· المال الإجمالي: 100 ريال
· سعر كيلو العنب: 10 ريال
· سعر كيلو الموز: 20 ريال
· عدد الكيلوات من كل نوع: عدد صحيح موجب (يعني 1, 2, ........)
نفرض:x = عدد كيلوات العنب
y = عدد كيلوات الموزالمعادلة
10x + 20y = 100
لدى محمد ١٠٠ ريال . سعر كيلو العنب ١٠ ريال . سعر كيلو الموز ٢٠ ريال . اشترى محمد عددا من كيلوات من العنب
و كيلوات الموز. ما الخيارات الممكنة من الكيلوات من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟
طريقة المضاعفات بدون تبسيط المعادلةنكتب مضاعفات 10 و مضاعفات 20 في جدول والحلول عندما يكون مضاعف 10 + مضاعف 20 = 100
100=مضاعف عشرة + مضاعف عشرين y=مضاعف العشرين x =مضاعف العشرة # x=2 , y=4 x=4 ,y=3
x=6 ,y=2
x=8 , y= 1
20 10 1 40 20 2 60 30 3 80 40 4 50 5 60 6 70 7 80 8 90 9
x = عدد كيلوات العنب
y = عدد كيلوات الموز
طريقة المضاعفات بعد تبسيط المعادلة
المعادلة
10x + 20y = 100بعد التبسيط
x+2y=10
x=10-2y
نختار قيم y و نحسب x وفق المعادلة
x=10-2y
x+2y=10
y موز 2y x عنب # 1 2 8 1 2 4 6 2 3 6 4 3 4 8 2 4 5 10 صفر
x = عدد كيلوات العنب
y = عدد كيلوات الموز
كيلو موز كيلوعنب 1 8 2 6 3 4 4 2 10 صفر
طريقة المعادلات
الأسهل بعد تبسيط المعادلة
مثال :
لدى محمد ١٠٠ ريال . سعر كيلو العنب ١٠ ريال . سعر كيلو الموز ٢٠ ريال . اشترى محمد كيلوات من العنب و كيلوات من الموز. ما الخيارات الممكنة من
الكيلوات من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟
حسنًا، لنحل المسألة خطوة بخطوة.
المعطيات:
· المال الإجمالي: 100 ريال
· سعر كيلو العنب: 10 ريال
· سعر كيلو الموز: 20 ريال
· عدد الكيلوات من كل نوع: عدد صحيح موجب (يعني 1, 2, ........)
نفرض:x = عدد كيلوات العنب
y = عدد كيلوات الموز
المعادلة
10x + 20y = 100
تبسيط المعادلة
x + 2y = 10
القاسم المشترك الأكبر للمتغيرين x و y هو الواحدلحل المعادلة في الأعداد الصحيحة غير السالبة نكتب المعادلة في صورة
x = 10 - 2yنختار قيم y نحسب x
x = 10 - 2y 2y y 8 2 1 6 4 2 4 6 3 2 8 4 صفر 10 5
إذن y يمكن أن يكون 1, 2, 3, 4,
نعوض لإيجاد x :y = 1
x = 8
(8 عنب، 1 موز)
y = 2x = 6
6عنب، 2 موز)
y = 3
x = 4
4عنب، 3 موز)
y = 4: x = 2
2 عنب، 4 موز)
كيلو موز كيلوعنب 1 8 2 6 3 4 4 2 10 صفر =====================================================================
مثال ثاني :
لدى محمد 258 ريال . سعر كيلو العنب 18 ريال . سعر كيلو الموز 22 ريال . اشترى محمد كيلوات من العنب و كيلوات من الموز. ما الخيارات الممكنة من
الكيلوات من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟
بالطبع يمكن حلها بجدول المضاعفات بعد التبسيط أسهل
نبدأ بالمعادلة:
18x + 22y = 258
نقسم طرفي المعادلة على 2 لتبسيطها:طريقة الجدول
9x + 11y = 129
هل مضاعفات 9+مضاعفات 11 =129
y= مضاعفات 11 (موز ) x= مضاعفات 9 ( عنب ) y x # 100 55 45 5 5 1 111 66 45 6 5 2 120 66 54 6 6 3 129
66 63 6 7 4 138
66 72 6 8 5
هذا الجدول أصعب قليلا في المتابعة
هل مضاعفات 9+مضاعفات 11 =129
y= مضاعفات 11 (موز ) x= مضاعفات 9 ( عنب ) # x
11 9 1 22 18 2 33 27 3 44 36 4 55 45 5 66 54 6 77 63 7 88 72 8
x=7 y=6
مثال:
لدى محمد 258 ريال . سعر كيلو العنب 18 ريال . سعر كيلو الموز 22 ريال . اشترى محمد كيلوات من العنب و كيلوات من الموز. ما الخيارات الممكنة من
الكيلوات من كل نوع إذا كان عدد الكيلوات عدد صحيح ؟
الحل بالمعادلات
نبدأ بالمعادلة:
18x + 22y = 258
نقسم طرفي المعادلة على 2 لتبسيطها:
9x + 11y = 129
الآن نبحث عن القيم الصحيحة الموجبة لـ x وy.
نحل المعادلة
9x + 11y = 129
في صورة = x:
9x + 11y = 129
لكي يكون x عددًا صحيحًا، يجب أن يكون 129 - 11y من مضاعفات 9
نجرّب قيم y الموجبة حتى يكون الناتج صحيحًا
x هل يقبل على 9
11y y لا 118
11
1 لا 107 22 2 لا 96 33 3 لا 85 44 4 لا 74 55 5 7 نعم 63 66 6 لا 52 77 7 لا 41 88 8 لا 30 99 9
x=6 y=7
نشاط
اشترت سارة كتب وأقلام بمبلغ 47 ريال اذا كان سعرالقلم 3 ريال وسعر الدفتر5 ريال فكم قلم وكم دفتر اشترت
الطريقة الأولى ( طريقة المضاعفات )
مثال :
اشترت سارة كتب وأقلام بمبلغ 47 ريال . اذا كان سعرالقلم 3 ريال وسعر الدفتر 5 ريال فكم قلم وكم دفتر اشترت سارة؟ نبني جدول بمضاعفات القيم
3x + 5y = 47
هذا النوع من المعادلات القاسم مشترك ألأكبر للمتغيرين يساوي الوحد
وهذه الحالة أصعب قليلا من الحالة التي يوجد فيها قاسم مشترك أكبر بين المتغيرين
هل مضاعفات 3+مضاعفات 5 =47
y= مضاعفات 5 (دفتر ) x= مضاعفات 3 ( قلم ) y x # 40 25 15 5 5 1 45 30 15 6 5 2 47 5 42 1 14 3 47 35 12 7 4 4 47 20 27 4 9 5
نبحث عن 3x+5y= 47
العدد قلم 3x دفتر5y 1 3 5* 2 6 10 3 9 15 4 12* 20* 5 15 25 6 18 30 7 21 35* 8 24 40 9 27* 45 10 30 50 11 33 55 12 36 60 13 39 65 14 42* 70 15 45 75 16 48 80 17 51$ 80
$ أكبر من المطلوب لذلك نكتفي بدراسة 16 حالات
نبحث في الجدول عن القيم التي تحقق المعادلة
3x + 5y = 47
من الجدول نلاحظ أن؛
اثنا عشر + 35 تحقق المعادلة
اثنا عشر قيمة أربعة أقلام
خمسة وثلاثون قيمة سبعة أقلام
سبعة وعشرون + عشرون تحقق المعادلة
سبعة وعشرون قيمة تسعة أقلام
عشرون قيمة أربعة أقلام
اثنان وأربعون + خمسة تحقق المعادلة
اثنان وأربعون قيمة أربعة عشر قلم
خمسة قيمة دفتر واحد
الحلول
x ( قلم )
y = ( كتاب )
14
1
9 4 4 7
الطريقة االثانية ( طريقة المعادلات )
اشترت سارة كتب وأقلام بمبلغ 47 ريال . اذا كان سعرالقلم 3 ريال وسعر الدفتر 5 ريال فكم قلم وكم دفتر اشترت
Step 1:
كتابة المعادلة
3x + 5y = 47
في الصورة
والقسمة على معامل x كما هو واضح في الصورة التالية
ناتج القسمة على3= x 47-5y 5y y 14 42 5 1 لا 37 10 2 لا 32 15 3 9 27 20 4 لا 22 25 5 لا 17 30 6 4 12 35 7 لا 7 40 8
Step 2
:
لكي يكون الناتج عدد صحيح يجب أن يكون المقار
يقبل القسمة على 3
Step 3:
نحسب القيم الممكنة للمتغير y الذي يمثل عدد الكتب
عندما يكون عدد الكتب عشرة
y = 10
تكلفة عشر كتب = 50 ريال
هذا المبلغ اكبر من 47 ريال
وعليه يكون عدد الكتب من
من صفر الى 9
Step 4:
نختبر هذه الحالات من صفر إلى تسعة هل تقبل القسمة على ثلاثة او لا تقبل القسمة على ثلاثة كما هو واضح
عند
y = 0
سبعة وأربعون لا يقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 1
اثنان وأربعون يقبل القسمة على ثلاثة
الناتج
x = 14
عند
y = 2
سبعة وثلاثين لا تقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 3
اثنان وثلاثون لا تقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 4
سبعة وعشرين يقبل القسمة على ثلاثة
x = 9
عند
y = 5
اثنان وعشرون لا تقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 6
سبعة عشرلا تقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 7
اثناعشر يقبل القسمة على ثلاثة
x = 4
عند
y = 8
سبعة لا تقبل القسمة على ثلاثة
عند
y = 9
اثنان لا تقبل القسمة على ثلاثة
Step 5:
نكتب الحلول الممكنة
الحلول
|
x ( قلم ) |
y = ( كتاب ) |
|
14 |
1 |
| 9 | 4 |
| 4 | 7 |
y = 1
x = 14 → 14 pens, 1 notebook
y = 4
x = 9 → 9 pens, 4 notebooks
y = 7
x = 4 → 4 pens, 7 notebooks
مميزات هذه الطريقةً
You check every possibility from 0 to 9 in organized order_2. Fast: Each check is a simple calculation*
No Missing Solutions: You are guaranteed to find every possible correct combination*
Clear Rules: You know exactly what to do at each step (check divisibility by 3)*
This is called a systematic approach and is a very useful skill in math
هذه الطريقة اسهل لأنها تعالج حالات أقل وتضمن معالجة كافة الحالات
مثال :
في مدينة الملاهي قيمة تذكرة الطفل 30 ريال وقيمة تذكرة البالغ 45 ريال. إذا كان ايراد مدينة الملاهي 360 ريال ما الحلول الممكنة لعدد الأطفال وعدد البالغين ؟طبعا بعد التبسيط اسهل
30x+45y=360
الطريقة الأولى ( طريقة المضاعفات بدون تبسيط)
المجموع 30x 45y x y 375 150 225 5 5 360 180 180 6 4 390 300 90 10 2 360 270 90 9 2 360 90 270 3 6
هل لاحظت اننا نزيد x اثنين وننقص y ثلاثة؟
عدد طفل بالغ 1 30 45 2 60 90* 3 90* 135 4 120 180* 5 150 225 6 180* 270* 7 210 315 8 240 360 9 270* 405 10 300 450 11 330 495 12 360 530
طريقة المعادلات
خطوات حل المعادلات التي من النوع
ax + by = c
التي فيها المتغيرين
x, y
أعداد صحيحة موجبة
١- جرّب قيمًا مناسبة للمتغير
x
٢- احسب
ax
٣- اطرح
ax
من
c
٤-احسب الباقي بعد طرح
a x
من
c
٥- اقسم الباقي على
b
٦- إذا كان الناتج عددًا صحيحًا موجبًا فهذا حل.
مثال 2:
30x + 45y = 360
نبدأ بالتبسيط
نقسم على 15 (القاسم المشترك الأكبر ) نحصل على
2x + 3y = 24
اختر قيماً للمتغير
x
احسب
2x
نطرح
2x
من
24
إذا باقي الطرح يقبل القسمة على 3 يكون أحد الحلول
30x + 45y = 360
نبدأ بالتبسيط
نقسم على 15 (القاسم المشترك الأكبر ) نحصل على
2x + 3y = 24
نكتب المعادلة في صيغة = y
الآن نجرب قيمًا لـ
x
نحسب
نحسب قيمة
نختبر القيم التي تقبل على 3
24-2x y 2x x 22 2 1 20 4 2 18 6 3 16 8 4 14 10 5 12 12 6 10 14 7 8 16 8 6 18 9 20 10
الحلول
x
y
3
18
6 12 9 18
