متتابعة رقم 17

متتابعة رقم 17

س4) أوجد الحد النوني للمتتابعة الموضحة بالشكل الآتي؟ ثم أوجد المجموع النوني لهذه المتتابعة؟

من الشكل ممكن ملاحظة النظام اذا نظرنا من الأعلى الى الأسفل واعتبرنا اللدور العلوي هو الدور الأول والي تحته هو الدور الثاني نجد ان

الأول 1 في 2

الثاني 2 في 3

الثالث 3 في 4

الرابع 4 في 5

الحد النوني ن (ن+)1

الشكل كامل

الحد الأول

الحد الثاني

الحد الثالث

الحد الرابع

الحد الخامس

الحد السادس

الفرق2	الفرق1	المكعبات	n
		2	1
	4
		6	2
2	6
		12	3
2	8
		20	4
2	10
		30	5
	12
		42	6

الفرق الثاني ثابت

المعادلة من الدرجة الثانية

an^2+bn+c

نعوض مرة n = 1

, 2 , 3

a+b+c 4a+2b+c 9a+3 b+c 16n+4b+c

نحسب الفرق

3a+b 5a+b 7a+b

2a 2a

الفرق الثابت

2a=2

a=1

3a+b=4

b=1

a+b+c=1

c=0

an^2+bn+c

an^2+bn

n^2+n

ولإيجاد مجموع المتسلسلة للحد النوني هنالك ثلاث طرق ، وهي على النحو التالي :

1) من خلال شكل البناء ، على النحو التالي :

وفي هذه الطريقة يتم بناء مجسم مؤلف من ثلاثة نماذج حتى يكتمل شكل متوازي المستطيلات على النحو التالي :

ومنه نستنج أن مجموع المتسلسلة عبارة عن حجم متوازي المستطيلات الذي أبعاده : ( n ، n+1 ، n+2 ) مقسوم على ثلاثة .

2) من خلال الاستنتاج وذلك بإيجاد مجموع عدد من الحدود وحساب الفرق حتى يثبت الفرق ، كما يلي :

الفرق3	الفرق2	الفرق1			n
			2	2	1
		6
	6		8	6	2
2		12
	8		20	12	3
2		20
	10		40	20	4
2		30
	12		70	30	5
		42
			112	42	6

نلاحظ أن الفرق قد ثبت في المرة الثالثة وهذا يبين أن مجموع المتسلسلة عبارة عن معادلة من الدرجة الثالثة وهي على الصورة:

ثم نعوض عن X بالقيم : 1، 2 ، 3 ، 4 على التوالي ، فينتج لنا المعادلات التالية :

ثم نقوم بحل المعادلات السابقة حتى نحصل على قيم كل من : ( a b c d ) على التوالي من خلال إيجاد الفرق بين المعادلات السابقة ،علـــــى النحو التالي

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيمة ( a ) :

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيم (a ، b ) في المعادلة الثالثة :

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيم (a ، b ، c ) في المعادلة الرابعة :

بالتعويض بقيم ( a ، b ، c ، d ) في المعادلة الأساسية ، ينتج :

2) من خلال الحساب من القانون بإيجاد مفكوك المجموع ، على النحو التالي :

‍