استراتيجيات حل المشكلات الرياضية

1- استراتيجية التخمين والتحقق (Guess and Check)

2- استراتيجية بناء جدول (Make a Table)

3- استراتيجية البحث عن نمط (Look for a Pattern)

4- استراتيجية البدء من النهاية (Work Backward)

5- استراتيجية الرسم والتمثيل البصري (Draw a Diagram)

6- استراتيجية كتابة معادلة (Write an Equation)

7استراتيجية التبسيط (Simplify the Problem)

8- استراتيجية التمثيل بنماذج ومجسمات (Models or Manipulatives) 

9- استراتيجية التجربة المنظمة (Systematic Listing)

10- استراتيجية تطبيق قاعدة أو قانون لحساب المطلوب ( قانون المتتاليات )

 

 

 

 

 

نشاط

 

 

مصنع ثلج يمكنه انتاج 1000 مكعب طول ضلع الواحد منها يساوي1 سم .

 اذا أراد أن ينتج مكعبات بطول 2 سم باستخدام نفس الكمية من الماء

فكم مكعب يمكنه أن ينتج ؟

 

 

 

 

 

 

كم عدد المكعبات 1x1

 

كم عدد المكعبات   2x2

 

 

 

 

 

 

نشاط

 

ما السؤال ؟

 

ما الاسترتيجة المناسبة ؟

 

 

 

 

 

 

 

 

السؤال كم عدد النقاط في الشكل رقم خمسين؟

 

 

 

 

 

 

 

 

 

هل تفيد استراتيجية التخمين والتحقق ؟

 

 

 

 

استراتيجية بناء جدول

 

عدد النقاط	الشكل
9	1
12	2
15	3
18	4
21	5

 

هل ممكن استنتاج قاعدة ؟

 

 

 

الاستفادة من الفرق الثابت بين كل حدين متتاليين

 

الفرق	عدد النقاط	الشكل
----	9	1
3	12	2
3	15	3
3	18	4
3	21	5

 

 

 

 

 

الحل المقترح استخدام

 

 قانون المتتاليات الحسابية

 

 

 

 

 

الحد النوني

an=a1+(n-1)d

d= الفرق بين حدين متتاليين

a1 = الحد الأول

n= رقم الحد

 

 

 

 

 

 

من الجدول نلاحظ ان الشكل الخامس فيه 21 نقطة

الفرق	عدد النقاط	الشكل رقم
3	21	5

نطبق القانون

an=a1+(n-1)d

الحد الأول =9

الفرق=3

الحد الخامس = 9 +4(3)=21

 

 

 

 

قانون بديل وسريع ( اعادة كتابة القانون )

an=a1+(n-1)d

an=a1+nd- d

an=nd + a1- d

 

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

3ن + 6

الحد الخامس = 3(5) +6 =21

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجيات حل المشكلات

 

 

 

 

 1 : استراتيجية التخمين والتحقق (Guess and Check)

 

نخمن حلاً، ثم نتحقق إن كان يحقق الشروط، ونعدّل التخمين حتى نصل للحل الصحيح.

 

 

 

 

 

 

 

عددان مجموعهما 100، والفرق بينهما 50

ما العددان

 

 

 

 

 

• نخمن 60 و  40

الفرق 20

• نخمن 70 و 30  

الفرق 40

 نخمن 80  و  20

الفرق 60

نخمن 75 و 25

الفرق 50

 العددان 75  و  25    

 

 

 

 

 

 الحل بطريقة ابداعية

 

 

ماالعددان اللذان مجموعهما 117 والفرق بينهما 17 ؟

 

 

 

 

 

 

تتلخص الطريقة في الخطوات التالية :

- طرح الفرق بين العددين

- قسمة باقي الطرح على 2 ينتج العدد الأصغر

المثال :

117 ناقص 17

يساوي 100

العدد الأصغر 100= قسمة 2

الأصغر= 50

العدد الأكبر = المجموع - الأصغر

الأكبر= 117- 50

67= الأكبر

 

 

 

 

 

 

مثال :  أرض مستطيلة الشكل  محيطها 500 وعرضها يساوي ربع طولها احسب مساحة الأرض

 

 

 

 

 

 

 

2استراتيجية بناء جدول (Make a Table)

 

الفكرة:

تنظيم المعطيات في جدول يساعد على رؤية الحل بسهولة.

 

 

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

يمكن حل السؤال بأكثر من استراتيجية مثل :

التخمين والتحقق

كتابة معادلة

بناء جدول

بناء نموذج

*****************************************************************************

 

 

  التخمين والتحقق

 

  من المعطيات ثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر. وحيث ان الثلثين قريبة من الثلاثة أرباع يمكن التخمين أن العددين متساويان

  أحدهما 170 والآخر 170 ونظرا لأن 170 لا تقبل القسمة على ثلاثة نختار 180 ونختبر ذلك التخمين . الأول 180 الآخر 160

  ثلثا الأول 120 و ثلاثة أرباع الآخر 120 . وهما متساويان . وعليهما الأول 180 والآخر 160

 

 

 

 

 

بناء جدول 

   قبل بناء الجدول يجب دراسة المعطيات . أحد المعطيات ثلثا الأول تعني أن الأول يجب أن يكون قابل

  للقسمة على ثلاثة .

الحالة	الأول	الثاني	ثلثا الأول	ثلاثة أرباع الثاني	المساواة
1	150	190	100	142,5	لا
2	180	160	120	120	نعم
3

 

 

 

 

استراتيجية بناء نموذج

 

 

عددان مجموعهما 340 وثلثا أحدهما يساوي ثلاثة أرباع الآخر . فما هما العددان ؟

 

 

 

النسبة بين العددين

أحدهما 8 مربعات والآخر 9 مربعات

ثلاثة أرباع الثمانية= ثلثي التسعة

 

17  مربع= 340

المربع الواحد= 20

أحدهما 180

الآخر 160

 

 

 

 

 

 

 

 

استراتيجية تطبيق قاعدة أو قانون

 

بدأ محمد بالتوفير فقرر أن يضع في اليوم الأول 100 ريال . وفي كل يوم يضع خمس ريالات زيادة

عن اليوم السابق . فكم ريالا يجب عليه أن يضع في يومه الخامس.؟

 

 

 

 

 

الحد ن = الأول  + الفرق ( ن -1)

أو

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

اليوم	المبلغ	الفرق
1	100	5
2	105
3	110	5
4	115
5	120	5
6	125
ن

 العلاقة   5ن + 95

يمكن حساب العلاقة من الفرق ومبلغ اليوم الأول.

مبلغ اليوم الأول  = 10

الفرق =5 

العلاقة 

ايداع يوم محدد يمكن حسابه بالعلاقة

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

 

 

 

 

 

ما قاعدة التسلسل؟

 1,3,5,7,9,11

الحد الأول =1

الفرق= 2

 

 

الجدول

الحد	القيمة	الفرق	القاعدة
1	1	2	2ن - 1
2	3
3	5	2
4	7
5	9	2
6	11
ن

 

العاشر يعني ن= 10

الحد الأول =1

الأساس (الفرق) = 2

الحد ن = الأول  + الفرق ( ن -1)

 الحد العاشر = الأول + 2(10- 1)

 الحد العاشر = 1 +  2(9)

 الحد العاشر = 19

قيمة الحد ممكن معرفته بالعلاقة :

3  استراتيجية البحث عن نمط (Look for a Pattern)

 

 

 

 

الهدف :

اكتشاف نمط  تسلسلي في أعداد أو أشكال للوصول إلى القاعدة العامة.

 

 

 

 

 

 

 

مثال على التسلسل في  الأعداد  

 

اكتشف قاعدة التسلسل

 3  6  9 12 15 18 21 .....

 

 

 

 

 

 

نكتب النمط  التسلسلي في الأعداد في جدول

للوصول إلى القاعدة العامة.

 

الجدول

الحد	القيمة	الفرق	القاعدة
1	3	3	3ن
2	6
3	9	3
4	12
5	15	3
6	18
ن

الحد المطلوب = (   الفرق x رقم الحد ) + ( الحد الأول - الفرق )

 

 

 

 

مثال على التسلسل في الأشكال

 

 

بالنظر الى الشكل نجد أنه يسير وفق نمط معين والهدف هو اكتشاف هذا النمط

 

 

 

النمط

1 ,3 ,6, 10 ,15 , .....

 

 

 

 

 

 

 

 

الاستعانة بجدول

1	الأول	1
2	الثاني	3
3	الثالث	6
4	الرابع	10
5	الخامس	15
6	الساس	21
7

 

 

 الثالث (3) و الرابع (4)  والخامس (5)

كيف نصل الى 10 ( الحد الرابع )  من 4 و 5 ؟

طبق ما توصلت اليه على

الرابع 10  و الخامس 15

كيف نصل الى 15 من 5  و6  ؟

 

1 3 6 10 15 21 .....

نحاول ايجاد طريقة نعرف بها معرفة قيمة حد معين من خلال رقم الحد والحد الذي يليه

بعد اختبار المحاولات نجد أن العشرة =( 4 في 5 ) قسمة 2

قيمة الحد = ( رتبة الحد ضرب الحد الذي يليه ) قسمة 2

من الجدول السابق نلاحظ أن

5	الخامس	15

الخامس=خمسة في 6 = 30 قسمة 2= 15

 

 

 

 

 

 

 حل ابداعي بدون معادلات لطالب ابتدائي

نجرب الحافلات الأقل حمولة

 

 

 

 

 

مجموع ما مع محمد وصالح 500 ريال . فاذا كان ثلثا ما مع صالح

و ثلاثة أرباع ما مع محمد 340 ريال . فكم مع كل منهما ؟

 

 

المعادلة الأولى    

      #1

المعادلة الثانية       ثلثي محمد + ثلاثة أرباع صالح = 340

   # 2

بطرح #2  من #1

  #3

بضرب #3  في اثنين لوجود ثلثين في المعادلة #2

  # 4

 بطرح # 4 من #2

  

    # 2

 

   # 4

ينتج

محمد = 80     ثلثا محمد

ثلثا ما مع صالح =280

و ثلاثة أرباع ما مع محمد  = 60 ريال

 

 

 

 

 

 الحل بالنمذجة

 

 

 

 

 

مجموع ما مع محمد وصالح 500 ريال . فاذا كان ثلثا ما مع صالح و ثلاثة أرباع ما مع محمد340 ريال .

  فكم ريال مع كل  منهما ؟

 

المعادلة الأولى     محمد + صالح = 500

في المسألة :

ثلثا صالح

من أجل ذلك نمثل محمد ب ثلاث مربعات بلون

صالح

ثلاثة أرباع صالح

من أجل ذلك نمثل صالح بأربع مربعات بلون مختلف

محمد + صالح = 500

+ =  500      ( 1 )

      ثلثي صالح    +     ثلاثة أرباع محمد= 340

+ = 340                       ( 2 )

بطرح  ( 2 )   من ( 1 )   نحصل على

+  = 160                                              ( 3 ) 

لوجود 3 مربعات من كل لون في  (1) نضرب المعادلة ثلاثة في 3  فنحصل على

 

بالتعويض بقيمة  ( 3 )  في المعادلة  ( 1 )  كالتالي :

( 1 )

  = 480             ( 4 )       

بطرح المعادلة 4 من المعادلة 1 نحصل على

= 20

= 80

محمد= 80

صالح = 500 ناقص 80= 420

من الممكن حل السؤال باستراتيجية بناء جدول

 

 

 

 

7استراتيجية التبسيط (Simplify the Problem)
 

نحل مسألة مشابهة لكنها أبسط، ثم نعمم الفكرة.

 

 

 

ما مجموع الخمسين عدد فردي الأولى ؟

ما القاعدة التي تحكم هذا النظام ؟ 

 

 

 

تكمن فكرة التبسيط في البحث عن  أعداد فرية أقل من  50 لمعرفة الحل مجموعها

يمكن أن يكون الحل بأكثر من استراتيجية :

 استراتيجية بناء جدول

المجموع	الترتيب	#
1	1	1
4	3	2
9	5	3
16	7	4
25	9	5
ن تربيع		ن

 

اكتشاف نمط من الجدول كما يمكن حلها باستخدام استراتيجية استخدام نموذج كما في المثال التالي :

استراتيجية استخدام النماذج

مساحة	مجموع	#
واحد في واحد		1
اثنين في اثنين		2
ثلاثة في ثلاثة		3
أربعة في أربعة		4
ن في ن		ن

 

 

 

 

8 استراتيجية التمثيل بالنماذج (Use Models or Manipulatives)
 

 

 

 

 

 

 

 

 

شركة نقل لديها حافلات من نوعين الأول حمولة 40 راكب والثاني حمولة 45 راكب .

 اذا نقلت الشركة 505 أشخاص

في 12 حافلة  فكم حافلة من كل نوع؟

 

 

 

 

الفكرة:

المطلوب 505 راكب في 12 باص من نوعين .

النوع الأول حمولة 40 راكب

النوع الثاني حمولة 45 راكب

نفرض أن 12 باص كلهم من الحمولة الأقل فيكون عدد الركاب 480 راكب

معنى ذلك يجب استبدال عدد من الباصات الأقل حمولة بباصات أكثر حمولة

استبدال باص واحد يزيد عدد الركاب بخمسة

الفرق بين 505 و 480  خمسة وعشرين

معنى ذلك نحتاج استبدال خمس باصات