أربعة عشر : العلاقة بين مساحتي المثلثات المتشابهة:

لاستنتاج العلاقة بين مساحات المثلثات المتشابهة وبعد معرفة نسبة الشبة كما في المثال التالي :

عرفنا أن المثلثين متشابهين كما عرفنا أن نسبة الشبة بينهم تساوي النصف وكذلك عرفنا أن العلاقة بين الارتفاعين في المثلثين تساوي النصف ، الان نبحث العلاقة بين مساحتيهم ، كما يلي :

بنسخ المثلث الأخضر ، وملء المثلث الأحمر الكبير بالمثلثات الصغير نلاحظ أنا احتجنا إلى أربع مثلثات لإكمال الشكل تماماً ، وهذا يعني أن مساحة المثلث الكبير تساوي اربعة من مساحة المثلث الكبير ، ومن هذا نستنتج ان :

إذا كانت نسبة الشبه النصف ، اصبحت العلاقة بين مساحتي المثلثين الربع .

ونأخذ مثال أخر للتحقق من هل العلاقة بين المساحتين بشكل أوضح ، فننشى المثلث الكبير من المثلث الصغير كما في المثال السابق :

لاحظنا سابقاً أن المثلثين متشابهين ، وعرفنا ان نسبة الشبه بينهم الثلث ، 1: 3 ، الأن نبحث العلاقة بين مساحتيهم ،كما يلي :

نلاحظ أن المثلث الكبير يتكون من 9 مثلثات صغيره ، وهذا يعني أن العلاقة بين المساحتين هي التسع أو 1: 9 ، ونلاحظ من المثالين السابقين :

أنه : في المثال الأول كانت نسبة الشبة 1: 2 ، وكانت العلاقة بين المساحتين 1: 4

و في المثال الثاني كانت نسبة الشبة 1: 3 ، وكانت العلاقة بين المساحتين 1: 9

وبذل نستنتج أن نسبة المساحة بين المثلثين ، تكون ضعف نسبة الشبة .

ومن هذه الخاصية نستطيع معرفة حل الكثير من العلاقات ، فإذا اعطاني نسبة الشبة ، استطيع الحصول على نسبة المساحة بتربيعها ، فاذا عرفنا مساحة احد المثلثات يمكن إيجاد الأخرى بتربيع مساحة المثلث الصغير أو اخذ جذر المثلث الكبير .

وكذلك إذا عرفنا نسبة المساحة نستطيع الحصول على نسبة الشبة بأخذ جذرها التربيعي ، وكذلك الحال بالنسبة للارتفاع .