المتسـلسـلات
إن مفهوم المتتابعة يلعب دورا كبيرا في البناء الرياضي والتطبيقات ومجموع حدود المتتابعة يسمى متسلسلة0
إذا أردنا اكتشاف مجموع أي عدد من حدود المتتالية النقالية من متسلسلة الأعداد الطبيعية : ( 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 00000000 ابتدأ من الواحد ، يشكل عدد مثلثى على النحو التالي : نقوم ببناء الأعداد المتتالية بالمكعبات المتداخلة 0
1 ، 3 ، 6 ، 10 ، 15 ، 0000000 كما هو موضح على الرسم 0
فنلاحظ أن العدد المثلث الثالث فهو مثلث فيه ثلاث مكعبات على كل جانب ، وهذا العدد ناتج ( 1 + 2 + 3 = 6 ) وينتج ذلك كما يلي:
1 = 1
+2 = 3
+ 3 = 6
+ 4 = 10
+ 5 = 15
+ 6 = 21
وهكذا نستطيع الانتقال من عدد الى العدد الذي يليه وبملاحظة العمليات التالية :
1 + 2 = 3 ــــ 2 × 3 ÷ 2 = 3
1 + 2 +3 = 6 ــــ 3× 4 ÷ 2 = 6
1 + 2+ 3 + 4 =10 ــــ 4 × 5 ÷ 2 = 1
1 +2 + 3 + 4 + 5 = 15 ــــ 5 ×6 ÷ 2 = 15
ولايجاد عدد المكعبات نقوم بناء شكل مماثل لكل مثلث 0
فينتج كما نلاحــظ من الرسـم مستطيل في الحالة الأولى طول المستطيل( 3 )، وعرض المستطيل( 2 ) 0
والثاني مستطيل طوله( 4 ) وعرضه( 3 ) مساحته( 12 ) أى يتكون من (12) مكعب 0
- ويلاحظ أن عدد مكعبات العدد الثاني تساوي نصف مكعبات المستطيل
- فيكون مجموع المكعبات فى العدد الثاني هو ( )
- اذن ناتج الجمع = ( العدد × العدد + 1 ) ÷ 2
لذا فان 1 +2 + 00000+ ن = ن ( ن + 1 ) عدد مثلثى بضلع (ن)
ن = ن (ن +1 )
تطبيــق :
المطلوب معرفة جمع : 1 + 2 + 3 + 0000000+ 56 = ؟ مباشرة0
نشــاط :
بأخذ مجموعة من المكعبات المتداخلة وتقوم ببناء مجموعة من الاعداد المثلثية كما هو موضح في الرسم بالصفحة التالية : فكم مكعبا نحتاج لذلك
- نقوم بجمع عنصرين متتاليين من أى مثلثين 0
- نجد ان الناتج يمثل مربع 0
1 + 3 = 4 ــــ 2 × 2
3 + 6 = 9 ــــ 3 × 3
6 + 10 = 16 ـــ 4 × 4
اذن نستطيع استنتاج مايلي:-
ن = ن ( ن + 1 ) ( العدد الاول )
(ن + 1 ) = (ن + 1 ) (ن + 2 ) ( العدد الثاني )
ن + ن + 1 = ن( ن + 1 ) + (ن + 1 )(ن +2 )
= ( ن + 1 )(ن + ن + 2 )
= ( 2 ( ن +1 )( ن + 1 )
= ( ن + 1 ) 2
1 3 6 10
6 + 10 = 4 × 4
مجموع الاعــداد الفرديــة ( - 1)
المتتالية : 1، 3 ، 5 ، 7 ، 0000000 تسمى الاعداد الفردية الممثلة بالشكل في الصفحة التالية:0
|
هناك قاعدة : اذا أضيف عدد فردى الى عدد مربع كان الحاصل عددا مربعا آخر |
ولتوضيح ذلك بشكل محسوس بالنسبة للاعداد الفردية عند جمعها نقول ما يلي:
(1 ) مربع إذا أضفنا إليه العدد (3 ) فيكون الناتج :
1 = 1
+ 3 = 4 = 2 × 2
+ 5 = 9 = 3 × 3
+ 7 = 16 = 4 × 4
+ 9 = 25 = 5 × 5
بناء عليه يكون كل عدد مربع هو مجموع جميع الأعداد الفردية الاقل من ضعف جذره 0
ولتوضيح ذلك بالرسم كما فى الصفحة التالية تبين لنا :
1 + 3 = 4 مربع طول ضلعه ( 2)
4 + 5 = 9 مربع طول ضلعه ( 3 )
وتوضيح العمليات : -
1 + 3 = 4 ــــ 2 × 2 = 4
1+ 3 + 5 = 9 ــــ 3 × 3 = 9
1 +3 + 5 + 7 = 16 ــــ 4 × 4 = 16
اذن مجموع الحدين الأول والثاني مربع مساحته (4) أى 2 × 2 = (2 )2
ومجموع الثلاث حدود الفردية الأولى مربع مساحته (9) أى
3 × 3 = ( 3) 2
اذن ينتج مربع مساحته ( ن × ن )
اذن 1 + 3 +5 + 00000000+ (2 ن -1 ) = (ن)2
فيكون ( 2 ن - 1 ) = ( ن ) 2
1 3 1 +3 = 2 × 2 1 + 3 +5
1+3+5+7 16 + 9 = 25 25 + 11 = 36
الأعــداد الزوجيـــة ( ن )
لايجاد مجموع حدود المتوالية المكونة الاعداد الزوجية سينتج القانون باستخدام المكعبات المتداخلة تكوين الاعداد:
- نقوم بنناء الاعداد الزوجية باستخدام المكعبات 0
2 ، 4 ، 6 ، 0000000 وهكذا يستطيع ان تحدد أى حد منحدود هذه المتوالية 0
لان 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 0000000000، 2 ن كما هوموضح بالرسم 0
- عند جمع أي عددين زوجيين يكون الناتج عددا زوجيا كما سبق وأوضحنا 0
- أذن عند جمع الحدين الأول والثاني فى الاعداد الزوجية ، فلا بد أن يكون
الناتج مستطيلا لانه يمثل عدد زوجي كذلك 0فنجد ان 2 + 4 = 6
يمثل مستطيل مكون من (6) مكعبات تمثل مساحة هذا المستطيل حيث بعداه ( 2 ، 3 )
- عند جمع الثلاث حدود أولالى كذلك : 2 + 4 + 6 + = 12 يمثــل مستطيل بعداه 3 ، 4 مساحته 12 أي 3 × 4
- وجمع الاربع حدود : 2 + 4 + 6 + 8 = 20 مستطيل بعداه :
( 4 ، 5 ) مساحته ( 20 ) مكون من ( 20 ) مكعب
- مجموع (ن) من الحدود فى هذه المتسلسلة من الاعداد يساوى : ن(ن + 1 )
2 + 4 + 6 + 8 + 0000000 + 2ن = ن(ن+1 ) حيث أن
اذن 2ن = ن ( ن + 1 )
مجموع مربعــات الأعــداد الصحيحة ( ن2)
الأعداد : (1 )2 ، ( 2)2 ، ( 3)2 ، (4)2 000000000
1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 00000000000000
تمثل عبارة عن متوالية من مربعات الاعداد 0
فاذا أردنا معرفة مجموع حدود هذه المتوالية فاننا نستنتج قانون التسلسلة ن2
- ونقوم بتوضيح الاعداد ( 1) 2 بواسطة المكعب 0
- والعدد الآخر (2 )2 ممثل فى المساحة ( 2× 2) المكعب سطحه يمثل المربع والعدد الثالث ممثل فى المساحة ( 3 × 3 )
- لجمع الاعداد مع بعضها ينتج الشكل المساثل فى الرسم 0
- في الخطوة الثالثة نقوم بعمل ثلاثة أشكال من الشكل الناتج 0
ويتم تجميعها لتكوين مكعب فيكون ابعاده :
ن ، ن + 1 ، ن + يمثل نصف الطبقة الاخيرة 0
(1)2 + ( 2 )2 + ( 3 )2+ 000000 + ن 2 = ن(ن+1)(ن+ ) ×
لانه مكون من ثلاثة قطع 0
لتوضيح ذلك نلاحظ مايلى :
ن2 = [ن2 (ن + 1 ) + ن(ن + 1 ) ] × ( الطبقة الأخيرة تمثل ن
= 2 ن2 (ن+ 1 ) + ن ( ن+ 1 )
= ن( ن+1 ) ( 2ن +1 )
مكعبــات الأعــداد ( ن3 )
الأعداد : 1 ، 2 ، 3 00000000000
تمثل : 1 ، 8 ، 27 ، 0000000000 متوالية عددين مثل مكعبات الاعداد0
ونمثل كما فى الشكل التالي (1)3 يعنى مكعب ابعاده : 1× 1× 1 = 1
(2)3 يعنى المكعب ابعاده : 2 × 2× 2 =8
(3)3 يعنى المكعب ابعاده : 3 × 3 × 3 =27 وهكذا 0
ولايجاد مجموع مكعبات الاعداد أي استنتاج قانون المتسلسلة
( ن3 = (1)3 + (2 )3 + (3 )3 +00000000 ن3
باستخدام المكعبات المتداخلة :
- بناء المكعب الذي طول حرفه ( 2) فيصح حجمه ( 2)3
- يضاف (1)3 + (2 )3 = ( 1+ 8 ) = 9 ينتج لدينا المكعب الذي يحتوى على (9) مكعبات ويعاد ترتيبه0
- واضافة (3 )3 يصبح المقدار :
(1) + (2 ) + (3 ) = 9 +27 = 36
- وتكرار العملية كذلك كما هو موضح بالرسم :
(1 ) + (2) + (3) + (4) = 36 +64= 100
نجد انه ينتج عبارة عن كعب ابعاده (ن × ن × 1 )
فاذا نظرنا الى السطح للشكل يكون عبارة عن مربع مساحته ( ن)2 بعد ترتيبه
- يكون طول الضلع ممثل في حالة جمع الاربع حدود الاولى0
1+ 2 + 3 +4 = 10
- اذن مساحة المربع تكون = (10)2 = 100
بما أن ن = 1 +2 + 3 +4 000+ ن = ن(ن+1 )
تصبح مساحة المربع ( ن)2 = ن(ن+1 ) 2
(ن)3 = ( 1+2 +3 +000000 + ن )2
= ن(ن+1) 2 = ن2(ن+1)2
ايجـاد ( ن)
نشــاط :
الشكل التالي تم بناءه بعدد من المكعبات فيلاحظ ن :
الشكل عدد المكعبات
1 1
2 3
3 6
4 10
5 15
6 21
7 28
0 0 وهكذا 00
نجد إنها تمثل مجموعة الاعداد الطبيعية ( ن = ن(ن +1)
إذا أردنا معرفة الحد الرابع = 4 ×5 = 10
وكذلك الحد العاشر يصبح = 10 × 11 = 55
ولكن إذا أردنا معرفة مجموع هذه المتسلسلة أي استنتاج قاعدة لها أى ايجاد قانون ن
( ن = ن(ن+1) = ( ن2+ن) = ( ن2 + ن )
= [ ن(ن+1)(2ن+1) + ن (ن+1) ]
= [ ن(ن+1)(2ن+1) + 3ن (ن+1) ]
= [ ن(ن+1) (2ن+1+3) ]
= [ ن(ن(ن+1)(2ن+4)]
= × 2 × ن(ن+1)(ن+2)
= ن(ن+1)(ن+2)
نشـــاط:
الشكل المرسوم في الصفحة التالية : مكون من عدة طبقات 0
- كم عدد من المكعبات تلزمنا لبناء مثل هذا الشكل ؟
- كيف التوصل الى معرفة عدد المكعبات فى احد الأدوار ؟
- ايجاد قاعدة تحدد عدد المكعبات فى هذا الجسم 0
نلاحظ ان الدور الواحد يمثل مستطيل مساحته ( 1 × 2 )
والدور الذي يليه يمثل مستطيل مساحته : (2 × 3 )
والدور الذي يليه يمثل مستطيل مساحته : ( 3 × 4 ) وهكذا
اذن المطلوب معرفة مجموع الطبقات أي:
1×2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 000000 + ن ( ن+ 1 )
ن ( ن + 1 ) المطلوب 0
= ن2 + ن
= ن2 + ن
= ن ( ن+1 )( 2ن+1 ) + ن(ن+1 )
= ن ( ن+1 ) ( 2ن+1 ) + 3ن(ن+1 )
= ن ( ن + 1)( 2ن +1 + 3 )
= ن ( ن +1 ) ( 2ن + 4 )
= 2ن ( ن+1 ) (ن + 2 )
= ن (ن +1) (ن +2 )
نشــاط:
الشكل التالي مكون من عدد من الطبقات :
- ماهى عدد المكعبات اللازمة لبناء مثل هذا الشكل ؟
- كم مكعب نحتاج لإضافة بعض الأدوار الطبقات ؟
- ما هو مجموع المكعبات فى العشرة طبقات الأولى ؟
- ما هي القاعدة العامة التي تحدد عدد المكعبات في الطبقة الاولى ؟
من الشكل نلاحظ بان الطبقة الواحدة مكونة من عدد المكعبات (6)
والدور الثاني ( 24 ) مكعب 0
أي أن الأول يمثل : 1 × 2 × 3
والدور الثاني يمثل : 2 × 3 × 4
المطلوب ن ( ن+ 1 )( ن + 2 )
= ( ن2 + ن )( ن + 2 )
= ن2 + 3ن2 + 2ن
= ن3 +3 ن2 + 2ن
= ن2 (ن+1)2 + 3× ن(ن+1)(2ن+1) + ن(ن+1 )
= ن2(ن + 1)2 + ن (ن+1 )(2ن +1) + 2ن (ن+ 1)
= ن (ن+1) [ ن (ن+1) + 2ن +1 +2 ]
= ن(ن+1) [ن(ن +1) +2 (2ن + 3 ) ]
= × ن (ن + 1)[ن2 + ن + 4ن + 6 ]
= × ن ( ن +1)( ن2 + 5ن + 6 )
= × ن (ن +1 )( ن +2)(ن+3 )
نشــاط:
لاحظ الشكل المرسوم فى الصفحة التالية 0
- هل يمكنا معرفة كم مكعب نحتاج لرسم الحد العاشر 0
- ما هى القاعدة العامة التي تحدد عدد المكعبات اللازمة لبناء الحد الثاني ؟
من الشكل نلاحظ أن :
الحد الأول = 4 مكعبات ـــــ 2 × 2
الحد الثاني = 16مكعب ـــــ 4 × 4
الحد الثالث = 36مكعب ـــــ 6 × 6
اذن يمثل مربع الحد النوني مضروب فى (4 )
فيكون الحد النوني = 4ن2
الحد الأول = 4 × 1 = 4 ــــ 2 × 2
الحد الثاني = 4 ×4 = 16 ـــ 4 × 4
الحد الثالث = 4×9 = 36 ـــ 6 × 6
الحد الخامس = 4 × 25 = 100 ـــ 10 × 10
ويمكن معرفة مجموع عدد المكعبات في الطبقات أى ن2 = 4 ن2
4 = 4× ن ( ن +1)( 2ن + 1) = ن (2ن + 1 )
تدريــب :
لاحظ الشكل المرسوم في الصفحة التالية وأرسم الحد الذي يليه مباشرة 0
- كم مربعا نحتاج لبناء الحد العاشر من هذا الشكل ؟
- ماهي القاعدة العامة التى تحدد عدد المكعبات لبناء الحد النوني للشكل ؟
