الأعداد المربعة

الأعداد المربعة

لتكن لدينا متتابعة الأعداد التالية : 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، ......

يمكن أن نستنتج الحد النوني لهذه المتتابعة باستخدام المكعبات المتداخلة ، وذلك كما يلي :

سنتوصل إلى الأشكال التالية :

1 = 1 × 1 4 = 2 × 2 9 = 3 × 3 16 = 4 × 4

وعليه فإنه من الواضح أن حدود هذه المتتابعة هي مربعات الأعداد : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .... على الترتيب . حيث :

الآن وبعد أن تعرَّفنا على الحد النوني لهذه المتتابعة لنطرح السؤال التالي:

مثال 1 :

لتكن لدينا متتابعة الأعداد التالية : 1 ، 4 ، 9 ، 16 ، ..... . أوجد مجموع هذه المتتابعة ؟

الحل :

أولاً : باستخدام اليدويات :

المطلوب هو إيجاد مجموع الأعداد المربعة أو ما يرمز له بالرمز :

لنستخدم المكعبات المتداخلة لتمثيل مجموع متتابعة الأعداد السابقة (²1+²2+²3+²4) ، كما يلي :

ولكي نوجد مجموع متتابعة هذه الأعداد ؛ نقوم بتركيب ثلاثة أشكال من الشكل السابق كما يلي :

وبعد تركيب هذه الأشكال الثلاثة سنحصل على الشكل التالي :

ولإيجاد مجموع المكعبات في هذا الشكل هناك طريقتان :

الطريقة الأولى :

لنتأمل في هذا الشكل ، سنلاحظ أنه من الممكن أن نقسمه إلى القسمين التاليين:

^{الشكل الأول :}^{متوازي مستطيلات أبعاده :

4 × 4 × 5 وبالرموز :}

^{الشكل الثاني :}^{مجموع الأعداد : 1+2+3+4

(أي مجموع الأعداد الطبيعية ) ، وبالرموز :}

ومنه نجد أن مجموع الأشكال الثلاثة يساوي :

الطريقة الثانية : لإيجاد مجموع المكعبات في الشكل السابق :

نقوم بتقسيم المكعبات الموجودة في أعلى الشكل إلى قسمين كالتالي :

ثم نقوم بعكس الشكل المقطوع كما يلي :

ثم نقوم بتركيب الجزء المقطوع في أعلى الشكل فنحصل على الشكل التالي :

ومنه نحصل على أن مجموع المكعبات في هذا الشكل ( مجموع الأشكال الثلاثة السابقة ) يساوي حجم متوازي المستطيلات

مربع نص: مجموع الأشكال الثلاثة

وعليه فإن مجموع الأعداد المربعة يساوي ثلث مجموع الأشكال الثلاثة السابقة ، أي :

ثانياً : رياضياً باستخدام طريقة الفروق:

لإيجاد مجموع الأعداد المربعة باستخدام طريقة الفروق نعمل الجدول التالي:

وبما أن الفرق الثالث ثابت فإن معادلة المجموع من الدرجة الثالثة وتكتب معادلتها بالصورة :

وبالتعويض عن قيمة n في هذه المعادلة بالأعداد :1 ، 2 ، 3 ، 4 على التوالي نحصل على المعادلات الأربع التالية :

وبمقارنة هذه المعادلات بالفروق السابقة نحصل على قيم المعاملات في المعادلة السابقة ، كما يلي :

وبتعويض هذه القيم في المعادلة السابقة نحصل على التالي :

وهو قانون مجموع الأعداد المربعة .