متتابعة رقم 16  

 

 

 س4) أوجد الحد النوني للمتتابعة الموضحة بالشكل الآتي؟ ثم أوجد المجموع النوني لهذه المتتابعة؟

 

 

 

 

الشكل كامل

 

 

 

 

 

لاحظ الشكل السابق وتتبع تغير عدد المكعبات تبعاً لتغير الحد ، ثم أجب عن الأسئلة التالية :

1- ما عدد المكعبات الموجودة في الحد العشرين ؟

2- ما مجموع المتسلسلة لـ ( ن ) حد ؟ وهل يمكن أيجاد قانون مجموع المتسلسلة بأكثر من طريقة ؟ وضح ذلك ؟

3- ما مجموع عدد المكعبات من الحد الأول إلى الحد الثاني عشر ؟

 

إجابة السؤال الأول :

كي نستطيع الإجابة على هذا السؤال ينبغي أن نحاول معرفة النمط الذي تزيد وفقاً له عدد المكعبات مع زيادة رتبة الحد .

حدود هذه المتتابعة ، هي : 9 ، 20 ، 35 ، ......

 ولكي نوجد عدد المربعات في الحد العاشر ؛ فلابد أولاً من إيجاد الحد النوني لها ، ويمكن ذلك من خلال شكل التمثيل البياني للحدود .

 

 

 

حيث نقوم بمحاولة اكتشاف النمط الذي تسير عليه هذه المتتابعة ، وهو ما يعني رياضياً إيجاد الحد النوني لها . وعندما نتأمل في هذه الحدود سنجد أن كل حد منها يتكون عبارة من ارتفاع البناء مضروب في طول البناء ، وبالتالي يمكن توضيح نمط التغير في الحدود تبعاً لرتبة الحد ، كما في الجدول التالي :

 

 

 

 

وبالرجوع إلى الجدول السابق نجد أن :

الحد		الفرقالاول	الفرق لثاني
1	9	11	4
2	20
3	35	15
4	54	19	4
5	77	23	4

 

الفرق الثاني ثابت معناه أن المعادلة من الدرجة الثانية

an^2+bn+c

نعوض مرة n=1 و 2 و3

 

                             a+b+c          4a+2b+c              9a+3b+c           16a+4b+c       

 

                       3a+b                5a+b                7a+b 

 

2a

 

 

 

2a=4

a=2

 

نعوض في

3a+b 

3a+b  =11

b=5

نوجد قيمة c

a+b+c=9

c=2

 

 

 

الحد العام

an^2+bn+c

 

2n^2+5n+2

 

 

التأكد

n=5

50+25+2=77

==================================================================================================

 

  إجابة السؤال الثاني :

ولإيجاد مجموع المتسلسلة للحد النوني هنالك ثلاث طرق ، وهي على النحو التالي:

 

 

1) من خلال الاستنتاج وذلك بإيجاد مجموع عدد من الحدود وحساب الفرق حتى يثبت الفرق ، كما يلي :

 

 

 

 

 

نلاحظ أن الفرق قد ثبت في المرة الثالثة وهذا يبين أن مجموع المتسلسلة عبارة عن معادلة من الدرجة الثالثة 

 وهي على الصورة:                                                                                                                                              

                                            

 

ثم نعوض عن X   بالقيم : 1، 2 ، 3 ، 4   على التوالي ، فينتج لنا المعادلات التالية :

 

 

   

ثم نقوم بحل المعادلات السابقة حتى نحصل على قيم كل من : (   a  b  c  d   ) على التوالي  من خلال إيجاد الفرق بين المعادلات السابقة ،علـــــى النحو التالي :

  

 

 

 

 

                                                                                                                            

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيمة ( a ) :

                                                                                                                         

                                                                       

                                                                                                                                          

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيم (a  ، b ) في المعادلة الثالثة :                                                   

                                                                                                                         

                                          

                                                                                

بالتعويض في المعادلة الثانية بقيم (a  ، b ، c ) في المعادلة الرابعة :     

                                                                                                                               

بالتعويض بقيم (    a ، b ، c ،  d   ) في المعادلة الأساسية ، ينتج :

             

              

                                      2) من خلال الحساب من القانون بإيجاد مفكوك المجموع ، على النحو التالي :

 

                                                  

 

 

 

إجابة السؤال الثالث :

 مجموع المكعبات إلى الحد الثاني عشر :

 

 

                                                                          

إذا عدد المكعبات المكونة للشكل حتى الحد الثاني عشر = 1714 مكعباً .