متتابعة رقم 13

فندق مكون من أدوار بني بالطريقة الهندسية التالية :

 والسؤال المطروح هو :

1- كم عدد الغرف ( المكعبات ) في كل دور من أدوار الفندق ؟

2- كم عدد الغرف ( المكعبات ) التي يتكون منها الفندق كاملاً إذا كان عدد أدواره ن ؟

3- فيما لو ضربنا هذا الشكل بالدهان من الخارج فكم عدد المكعبات (الغرف) التي سيضرب منها 5 أوجه ،  4 أوجه ، 3 أوجه ، وجهان ، وجه واحد ، وكم عدد المكعبات التي لن تضرب بالدهان ؟ (المطلوب كتابة قاعدة عامة لعدد هذه الغرف إذا كان عدد أدوار الفندق ن) .

الحل :

3- أولاً : المكعبات التي سيضرب منها خمسة أوجه :

 وهي رؤؤس هذا الشكل الثلاث ، وهي المكعبات الصفراء في الشكل التالي :

ثانياً : المكعبات التي سيضرب منها أربعة أوجه :

وهي المكعبات الموجودة في الأحرف المائلة لهذا الشكل ، وهي المكعبات الخضراء في الشكل التالي :

ومن الواضح أن كل حرف من الأحرف الثلاثة يحوي  من هذه المكعبات ، فيكون عدد هذه المكعبات =

ثالثاً : المكعبات التي سيضرب منها ثلاثة أوجه :

وهي المكعبات الزرقاء الموجودة في مقدمة هذا الشكل التالي :

ومن الواضح أن مجموعها هو مجموع الأعداد الطبيعية لحدود عددها

 فيكون عدد هذه المكعبات  :

مضافاً إليها مكعب واحد ، وهو الرأس السفلي لهذا الشكل ، وهو المكعب الأصفر في الشكل التالي :

فيصبح العدد الإجمالي لهذه المكعبات =

رابعاً : المكعبات التي سيضرب منها وجهان :

 وهي المكعبات الموجودة في الأحرف الخلفية للشكل ، والتي ميزت باللون الزهري في الشكل التالي :

ومن الواضح أن كل حرف من الأحرف الثلاثة يحوي

من هذه المكعبات ، فيكون عدد هذه المكعبات =

خامساً : المكعبات التي سيضرب منها وجه واحد فقط :

وهي المكعبات الموجودة داخل الأوجه الخلفية للشكل ، والتي ميزت باللون الأحمر في الشكل التالي :

ومن الواضح أن مجموع هذه المكعبات في كل وجه هو مجموع الأعداد الطبيعية لحدود عددها

 فيكون عدد هذه المكعبات =

سادساً : المكعبات التي سيضرب منها وجه واحد فقط :

وهي المكعبات الموجودة داخل الشكل ، حيث نقوم بإزالة المكعبات التي ضربت بالدهان ليبقى لنا مكعباً واحداً ، وإذا كان عدد الأدوار ستة فسيبقى لنا الشكل التالي :

ومن الواضح أن المجسم الناتج يأخذ شكل المجسم الأساسي ( فندق ) وعدد حدوده يساوي لـ

 بالنسبة للمجسم الأساسي.

 أي أن عددها =