تحليل المقادير الجبرية :

التحليل معناه كتابة المقدار على صورة ضرب عوامل "تكوين مستطيلات " و أكبر هذه العوامل "أبعاد المستطيلات " هو القاسم المشترك الأكبر للحدود في ذلك المقدار.

  و الشكل التالي يوضح عملية تحليل المقدار 6س -3س2 ، حيث يتم تشكيل مستطيلات من كل حد من حدي المقدار على النحو التالي:

او النحو التالي:

و حيث أن 3س هي أكبر بعد في المستطيلات المتكونة من الحد الأول ، و هي أكبر بعد مشترك من المستطيلات المكونة من الحد الثاني فأن 3س هي القاسم المشترك الأكبر للمقدار و يتم وضعها على المجرى الأفقي حسب إشارتها على النحو التالي :

و عليه فأن 6س – 3س2 = 3س(2- س)

أما المقدار 4س2 + 2س فيمكن تحليله باتباع الخطوات التالية :

أولا : تكوين مستطيلات من 4س2 ، 2س يكون لها أكبر بعد مشترك على النحو التالي :

وليس   

صحيح أن التحليل معناه بناء مستطيل واحد بكل القطع التي تمثل المقدار الجبري  ولكن بشرط أن يكون المستطيل الناتج بأكبر ضلع ممكن

ثانيا : نضع القاسم المشترك الأكبر 2س على المجرى الأفقي من اللوحة كما يلي :

ثالثا :تم تمثيل المقدار المطلوب تحليله على اللوحة حسب إشارة كل حد. و نظرا لأن كل من حدي المقدار موجب فتم تشكيل مستطيل من المقدار على أن يكون احدى بعدي هذا المستطيل 2س "القاسم المشترك الأكبر" بحدي المقدار على النحو التالي :

      4س² + 2س = 2س(2س+1)

رابعا : نضع في المجرى الرأسي المقادير المناسبة و يكون المجرى الأفقي و الرأسي هما العاملان للتحليل المطلوب و الشكل التالي يوضح أن تحليل المقدار :

و عليه فأن       4س² + 2س = 2س (2س + 1)

المقدار (2س2 – 2س) يمكن تحليله وفق الخطوات التالية :

1 –تكوين مستطيلات من كل حد من حدي المقدار يكون لها أكبر بعد مشترك.

2 – بضع القاسم المشترك الأكبر على المجرى الأفقي.

3 – نضع الحدود في المربعات حسب إشارة كل منها .

4 – ناتج التحليل هو المقادير في المجرى الأفقي و الرأسي.

    و الشكل التالي يوضح الخطوات السابقة.

و بالطريقة ذاتها يمكن تحليل المقدار 3س ص – ص² إلى ص(3س-ص)

و الشكل التالي يوضح ذلك :

الشكل التالي يوضح تحليل المقدار -4 س² - 6س إلى -2س (2س+3)

حيث تم عمل مستطيل من كل حد من حدي المقدار فوجد أن أكبر بعد مشترك هو 2س. و نظرا  لكون كل من حدي المقدار سالب تم وضع القاسم المشترك الأكبر في الاتجاه السالب للمجرى الأفقي ،

و عليه فإن :

             -4س² -6س = -6س (2س+3) .

تحليل المقدار الثلاثي

     لتحليل المقادير الثلاثية لابد من دراسة الأوضاع و الصور المختلفة لهذه المقادير ، و في الغالب يمكن تصنيفها في أربع صور هي:

                          أ س² + ب ي +ج

                          أ س²– ب س + ج

                          أ س² + ب س –ج

                          أ س²– ب ج– ج 

و فيما يلي تفصيلا لكل من هذه الحالات :

الصورة الأولى : يتم تمثيل المقدار على البطاقة الجبرية مع ملاحظة أن جميع الحدود تقع في المربع الأول من اللوحة لأن جميع الحدود موجبة. و تكمن الفكرة في تكوين مستطيل من هذه القطع يمثل كل من ضلعيه أحد عوامل التحليل المطلوب.

مثال: لتحليل المقدار س² +5س +6 لاحظ أنه تم اختيار المربع الأول لتمثيل س² مع أنه يمكن تمثيلها

على المربع الثالث . و هكذا تعامل الحالات المماثلة.

و عليه فإن : س² +5س +6 = (س+3)(س+2)

الصورة الثانية : تيم فيها وضع س2 في المربع الأول نظرا لأن الحد الثاني سوف يكون بطبيعة الحال في مربع مختلف، و يوضع المقدار ج- في المربع الثالث لأنه موجب.

مثال: يوضح الشكل التالي عملية تحليل المقدار س2 – 5س +6 حيث تكمن الفكرة هنا في وضع ج على هيئة مستطيل. و يكون نتيجة التحليل المقدار الممثل على المحور السيني هو (س-3) مضروبا في المقدار الممثل بالمحور الصادي(س-2).

لاحظ توزيع الحد الأوسط بين المربعين الثاني و الرابع بما يتوافق مع ضلعي المستطيل المكون من الحد الثالث في المقدار الثلاثي.

الصورة الثالثة : يتم فيها تمثيل المقدار ج- إما في المربع الثاني أو في المربع الرابع لأنه سالب و المهم هو تكوين مستطيل ، بينما يتم وضع الحد الأول من المقدار في الربع الأول كالمعتاد.

مثال : يوضح الشكل التالي تحليل المقدار س² +س -6 في حالة وضع 6 في المربع الرابع.

لاحظ ضرورة استبعاد الصفر ليكون الناتج على النحو التالي :

                 س2 +س-6 = (س+3)(س-2)

الصورة الرابعة : يتم فيها تمثيل المقدار ج- إما في المربع الثاني أو المربع الرابع ، و لابد هنا من إجراء عدة محاولات لتكوين المستطيل.

مثال: يوضح الشكل التالي عملية تحليل المقدار س2 –س -6  في حالة وضع ج- في المربع الثاني :

و بعد استبعاد الصفر تكون نتيجة التحليل هي :

(س-3)(س+2)

تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية :

 بعد أن درس الطالب ضرب المقادير الجبرية و قسمتها لابد أنه أدرك أن القسمة عكس الضرب، و أن :

المقسوم = المقسوم عليه × خارج القسمة.

و أن التحليل معناه وضع المقدار في صورة مستطيل بعداه هما ناتج التحليل.

إن التعامل مع معمل الجبر يتيح للطالب فرصة إدراك العديد من المفاهيم و ترجمتها إلى واقع محسوس، و بدون معمل الجبر يجري الطالب العديد من عمليات التحليل دون أن يعرف الهدف منه، فعلى سبيل المثال إذا طلب من التلميذ تحليل المقدار:

                     س² +س +س ص +ص

فإن العديد منهم قد يجدون صعوبة أو قد يتمكن البعض من إجراء التحليل على النحو التالي :

س (س+1) + (س ص+ص)

ثم تكرار أخذ العامل المشترك (س+1)

                   (س+1)(س+ص)

في حين أن معمل الجبر يجسد هذا التحليل أمام الطالب ، فالمقدار :

                     س² + س + س ص +ص

يمثل كل حد منه قطعة من قطع معمل الجبر ثم يتم وضع الحدود و ترتيبها في مستطيل بعدا هذا المستطيل هما ناتج التحليل على النحو التالي :

فطول المستطيل = (س+ص)

عرض المستطيل = (س+1)

مساحة المستطيل = (س+1)(س+ص)

                    = س2 +س ص +س+ص

و هو المقدار المطلوب تحليله ، و عليه فإن :

                     س² +س ص +س+ص =(س+1)(س+ص)

و يزداد الأمر صعوبة بزيادة عدد حدود المقدار المطلوب تحليله ، فالمقدار:

                         س²+س ص +3س + 2+ص

لا يمكن تحليله بسهولة ، و الطريقة المعتادة في تحليله تبدأ بترتيب الحدود على النحو التالي:

                         (س²+3س+2)+(س ص+ص)

ثم يتم تحليل كل حد على حده بالصورة التالية:

                           (س+1)(س+2) + ص (س+1)

هذا إذا كان الطلب لا يزال متذكرا و فاهما تحليل المقدار الثلاثي . ثم يلي تلك الخطوة أجذ عامل مشترك (س+1) على النحو التالي:

(س+1) [(س+2) +ص]

ليكون : س² +3س+2+س ص+ص = (س+1)(س+2+ص)

و باستخدام معمل الجبر يمكن تحليل المقدار بطريقة توضح المقصود من التحليل و تبين المستطيل و طوله و عرضه و مساحة القطع المكونة له على النحو التالي :

حيث المقدار تحليله هو المقدار المطلوب تحليله هو : س²+3 س + 2 + س ص+ص

ثم وضعه في صورة مستطيل  :

طول المستطيل   =(س+1)

عرض المستطيل = (س+2+ص)

المساحة           = (س+1) (س+2+ص)

                    = س ²+2 س + س ص + س +  2+ ص

و هو المقدار المطلوب تحليله ، و عليه فأن :

                        س² + 3س + 2 + س ص + ص=(س+1)(س+2+ص)

هذا بالإضافة إلى أنه يمكن ربط قسمة كثيرة الحدود بالهندسة و تكون النتيجة واضحة : فقسمة المقدار :

                   س² +3 س + س ص + ص + 2 ÷ (س+1 )= س+2+ص

وفقا لقانون المساحة على فرض أن (س+1) هو عرض المستطيل و أن :

                  (س+2+ص) هو طول المستطيل.

نشاط:

خذ قطعتين من القطع التي تمثل ص ، و قطعة واحدة من كل من الآتي :

                    س ص، ص، س²، الوحدة.

استخدم القطع جميعها في تكوين المستطيل.

احسب بعدي هذا المستطيل.

احسب مساحة المستطيل.

هل تمكنت من بناء المستطيل الذي أبعاده مطابقة للمستطيل التالي :

العرض = (س+1)

الطول = (ص+س+1)

المساحة = (س+1)(ص+س+1)

          = س ص +س²+س+ص+س+1

وعليه فإن :     س ص + س²+ س + ص + س + 1= (س+1)(ص+س+1)

هل يمكنك بناء مستطيل بأبعاد مختلفة عن المستطيل السابق؟

نشاط:

      بالطريقة نفسها استخدم القطع التالية و كرر النشاط السابق:

       2س2، 3س، مكعب الوحدة.

تحليل كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة :

يمكن استخدام معمل الجبر في تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة و ذلك عن طريق تكوين متوازي مستطيلات شريطة أن يكون أحد أوجهه هو القاسم المشترك الأكبر للحدود، فالمقدار س³+3 س² يمكن تحليله على النحو التالي : س²(س+3)

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار :

س³+2س²ص = س²(س+2ص)

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار : 2س³+4س² مع ملاحظة ضرورة أخذ القاسم المشترك الأكبر للحدين كأحد أوجه متوازي المستطيلات. فالمقدار الأول يمثل 2×1 و المقدار الثاني 2×2 و بالتالي لابد أن يكون أحد أبعاد الوجه المشترك 2 على النحو التالي و بالتالي يكون ناتج التحليل 2س²(س+2) :

و ليس على النحو التالي س³(2س+4) لعدم توفر القاسم المشترك الأكبر:

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار : س³ +2س²ص + س²

ليكون الناتج  : س² (س+2ص+1)

هل لاحظت أن التحليل عبارة عن متوازي مستطيلات له وجه مشترك  أي مساحة مشتركة مضروبا في بعد.

ففي المثال الأخير كان ناتج التحليل س²الذي يمثل المساحة المشتركة مضروبا في حرف المتوازي .  و قد يكون التحليل في بعض المقادير لا يحوي مساحة مشتركة و لكمه يحوي بعدا مشتركا و في هذه الحالة تكون نتيجة التحليل عبارة عن بعد مشترك مضروبا في المساحة المتبقية من وجه متوازي المستطيلات. فتحليل المقدار :

                      س ص² +س³ = س(ص²+س²)

أما المقدار :

س ص² + س³ +س²ص = س (ص² +س² +س ص) 

فإنه يمكن تمثيله على النحو التالي:

تمارين :

استخدم معمل الجبر في تمثيل كل من المقادير التالية :

س²ص +2س²

(س+1)³ +(س+1)

س³ +س

س³ +2س² + 3س

س³ +س²ص +س ص

ص³ +س²ص+ س ص