نظم المعادلات :

باستخدام معمل الجبر سوف يتمكن الطالب من :

1 – ايجاد حلول لمعادلات بمجهولين

2 – رسم  حلول لمعادلات بمجهولين

3 – حل المعادلات في صورة ص = أس + ب

4 – فهم الميل

5 – استخدام التعويض في حل نظم المعادلات

6 – كتابة و حل نظم المعادلات

يركز هذا الباب على دراسة نظم المعادلات الخطية (في مجهولين) ، إلا أن الدراسة في هذا الباب تختلف عن التناول التقليدي حيث نبدأ أولا بعرض تطبيقات حياتية تتطلب معادلات خطية

في متغيرين و يتم تطبيق أسلوب المحاولة و الخطأ أو أسلوب التخمين في إيجاد الحلول التي تحقق المعادلة ثم نطلب من الطلاب استخدام أسلوب بناء جدول للقيم المختلفة و بعد ذلك

من الممكن استخدام معمل الجبر لتمثيل المعادلة ثم نلجأ إلى التعامل مع الرموز المجردة و أخيرا التمثيل البياني.

كمقدمة أطلب من التلاميذ تمثيل المعادلة ص = س – 1 على لوحة المعادلات . ثم دعهم يعوضون عن قيم س بأعداد مختلفة  و يجدون قيم ص التي تحقق المعادلة مع ملاحظة أن التعويض

 عن س بقيمة سالبة بمثابة النظير ، و أن التعويض عن س بالصفر معناه حذف س من البطاقة . سوف يلاحظ الطلاب أن هناك قيم لا نهائية من الإجابات ، و أن الإجابات عبارة عن

 زوج مرتب من الأعداد . و الجدول التالي يوضح بعض القيم التي تحقق المعادلة.

من الرسم تجد أن الحلول تمثل خطا مستقيما ، و لذلك يسمى هذا النوع من المعادلات بالمعادلات الخطية ، و من الصعب ايجاد جميع الحلول للمعادلات في مجهولين .

لحل المعادلة ص = س – 3

نقوم أولا بتمثيل المعادلة على البطاقة على النحو التالي :

و عمل الجدول التالي :

و بالطريقة نفسها يمكن تمثيل المعادلة ص = 2 – س على البطاقة

حيث يتم عمل الجدول و إعطاء قيم للمجهول س و حساب قيمة ص في كل مرة على النحو التالي :

و لتمثيل المعادلة ص = 2س + 1 على البطاقة نضع قطعتين من س بالإضافة إلى مكعب واحد في أحد الطرفين ، ثم نضع القطعة التي تمثل ص في الطرف الآخر على النحو التالي :

نقوم بإنشاء جدول ثم إعطاء قيم للمجهول س و حساب قيمة ص . و لتمثيل قيمة الصفر للمجهول س فإننا نقوم بحذف القطعة س من البطاقة ، أما إعطاء قيمة سالبة للمجهول س فمعناه نظير تلك القيمة .

و بعض المعادلات في مجهولين قد تحتوي على بعض القطع الجبرية في الجزء السالب و الجزء الموجب من أحد طرفي البطاقة ، و عندها يتم التقسيم بطريقة مختلفة عن التقسيم العادي ، حيث

 يجب الأخذ في الاعتبار كلا الجزئين.

لحل المعادلة 2س – 2ص= 4 يتم تمثيل طرفي المعادلة و استبعاد الصفر و تقسيم المقادير في كل طرف على النحو التالي :

و يجب التأكيد هنا على ضرورة إيجاد قيمة ص بدلا من سالب ص ، فإذا حصل الطالب على النتيجة في سالب ص فإنه من الأفضل تغيير النتيجة باتباع إضافة النظير التي تسبق دراستها

و الحصول على قيمة ص ، إلا إن التفكير مقدما في المعادلة و التخطيط الجيد لحلها يغني عن هذه الخطوة الإضافية

فلحل المعادلة ص + 2 = -س + 5

يجب التفكير و التخطيط تجنبا لخطوات إضافية ليست ضرورية.

إن تعدد طرق العرض و المحاولة تتيح للتلميذ فرصة التعرف على الإستراتيجيات المختلفة و الجزء الأخير من هذا الباب يعالج كيفية ايجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر من نقطتين ،

و هذا الأسلوب مفيد في تعلم كيفية اشتقاق الصيغة الرياضية .

و عند تدريس هذا الباب يجب عدم الاستعجال في تدريس المعادلات الآنية بل إعطاء التلاميذ فرصة كافية ليكتشفوا الحل بأنفسهم كما يجب تشجيع الحوار و النقاش و المقارنة بين مختلف الحلول ،

 الأمر الذي من شأنه تهيئة التلميذ لفهم طرق حل المعادلات الآنية التقليدية ، و لا نتوقع من التلميذ فهم طريقة كتابة و ترجمة المسائل اللفظية إلى معادلة من المسألة الأولى فهذا يحتاج إلى توضح الفكرة .

مثال : اشتري محمد مرسمة و قلم بستة ريالات . فهل يمكن لنا معرفة سعر كل منهما على انفراد ؟

إن مثل هذا السؤال له عدد من الإجابات تتمثل في أزواج مرتبة يكون العدد الأول في كل منها سعر المرسمة و العدد الثاني يمثل سعر القلم ، و باختيار أسعار معقولة يمكن بناء جدول

على النحو التالي :

و يمكن تمثيل هذه الأزواج على شبكة التربيع على النحو التالي :

مثال : اشترى صالح قلمين و دفتر واحد بمبلغ 10 ريالات . اختر قيما لكل من القلم و الدفتر و قم ببناء جدول على النحو التالي :

                      2ق + د = 10

كما يمكن تمثيل المعادلة (الأزواج المرتبة بيانيا) على النحو التالي :

هل لاحظت أن المعادلة مثلت خطا مستقيما ؟ و هل لاحظت أن الخط المستقيم يتقاطع مع المحور الصادي عند النقطة(0 ، 10)؟

أن معنى ذلك عندما تكون س = صفر و هذا معناه عدم شراء أقلام فأن ص = 10 و هذا معناه أنه بكامل المبلغ البالغ عشرة ريالات تم شراء دفاتر ، و حيث أنه اشترى دفترا واحدا

 فإن سعر الدفتر يساوي عشرة ريالات في حالة عدم شراء أي قلم.

و الآن ماذا لو أن صالحا اشترى قلما و ثلاثة دفاتر بعشرة ريالات فهل يمكن لنا إعطاء قيم لكل من القلم و الدفتر ؟

بالطريقة نفسها يمكن إنشاء جدول على النحو التالي :

هل لاحظت أنه في الجدول السابق عندما اشترى صالح قلمين و دفتر واحد أن قيمة الدفتر في كل مرة تزيد ريالين ، و المرة الثانية عندما اشترى قلما واحدا و ثلاثة دفاتر أن سعر الأقلام

 يقل بمعدل 3 ريالات في كل مرة . و الآن دعنا نفترض أن صالحا اشترى قلما و أربعة دفاتر بعشرين ريالا و نقوم بإنشاء الجدول :

                              ق + 4د = 20

هل لاحظت أن قيمة القلم في تناقص بمعدل 4 في كل مرة ؟

الشكل التالي يمثل المعادلة بيانيا :

 و من التطبيقات الحياتية مسألة الأوراق النقدية المختلقة مثل :

لدى محمد عدد من الأوراق النقدية بعضها من فئة الخمس ريالات و البعض الآخر من فئة العشرة ريالات ، فإذا كانت القيمة النقدية لتلك الأوراق 150 ريالا فكم ورقة من كل فئة ؟

خ + ع = 150 ، حيث خ تمثل عدد الأوراق من الفئة خمس ريالات

                            ع تمثل عدد الأوراق من الفئة عشرة ريالات

بالطبع لا يمكن بالتحديد معرفة الإجابة و كما هو الحال في الأمثلة السابقة نحتاج لبناء جدول على النحو التالي :

و هكذا تستمر القيم بدون تحديد.

 لعلك لاحظت من الجداول السابقة أنه لو كان هناك علاقة بين المتغيرين لأمكن ايجاد الحل ، فالمثال الأخير لو أن هناك شرط أو علاقة تربط بين عدد الأوراق من الفئة الأولى و بين عدد الأوراق

من الفئة الثانية لأمكن الحل ، و الجدول السابق يوضح أنه في حالة تساوي عدد الأوراق من الفئتين فإن الإجابة تكون عشر أوراق من الفئة الخمسة ريالات و مجموعها 50 ريالا ، و عشر ورقات

من الفئة الأخرى بما يعادل 100 ريال .

و العديد من التطبيقات تحتاج إلى حل يحقق شرطين أو أكثر في الوقت نفسه ، مثل هذه التطبيقات تحتاج إلى معادلتين أو أكثر تمثل ما يعرف باسم نظم المعادلات.

و يمكن استخدام معمل الجبر في حل نظم المعادلات حيث يتم تمثيل كل معادلة في بطاقة مستقلة و استخدام أسلوب التعويض حتى يدرك الطالب معنى التعويض، و لحل  المعادلات السابقة

يجب إضافة شرط آخر حتى يمكن حلها ، فإذا أخذ المثال التالي :

مثال :

اشترى  محمد قلما واحدا و دفترين بثمانية ريالات و كان سعر القلم ضعف سعر الدفتر فكم سعر كل منهما ؟

هذه المسألة يمكن ترجمتها إلى معادلتين :

                     ق + 2د = 8        ، ق = 2د

أو باستخدام الرموز المتفق عليها في معمل الجبر س، ص حيث ص تمثل سعر القلم س تمثل سعر الدفتر.

                     ص + 2س = 8            ، ص= 2س

و تمثيل المعادلة الأولى على البطاقة على النحو التالي :

و المعادلة الثانية على بطاقة مستقلة على النحو التالي :

و باستبدال القطعة ص في البطاقة الأولى بقطعتين من س نجد أن البطاقة الأولى أصبحت تحتوي على 4س في جهة و 8 مربعات في الجهة الأخرى .

و هكذا تكون س = 2.

و بالرجوع إلى المعادلة ص = 2س على البطاقة الثانية و التعويض بقيمة س = 2 نحصل على قيمة ص على النحو التالي :

و هكذا تكون ص = 4، س = 2 ، أي أن سعر الدفتر الواحد يساوي ريالين و سعر القلم يساوي 4 ريالات و بالطريقة نفسها يمكن حل بقية المسائل المشابهة مستخدمين أسلوب التعويض.

و هناك أسلوب آخر يعتمد على بناء معادلة مكافئة لأحد المعادلتين ثم استخدام أسلوب التعويض ، فعلى سبيل المثال :

لحل المعادلتين ص= 2س + 6، 5س + 3ص = -15

نلاحظ أن الأولى تحتوي على ص و الثانية تحتوي 3ص و باستخدام الأولى و ضربها في 3 يمكن بناء معادلة مكافئة لها على النحو التالي جبريا.

                   ص= 2س + 6

                  3ص = 6س  + 18

كما يمكن استخدام معمل الجبر في حلها على النحو التالي :

ثم تمثيل المعادلة 5س + 3ص = -15 على النحو التالي :

و بالتعويض عن قيمة 3ص بما يعادلها من البطاقة السابقة حيث :

3ص = 6س + 18 نحصل على :

و هذا معناه أن 11س + 18 = -15

و بإضافة -18 إلى طرفي المعادلة و استبعاد النظير نحصل على : 11س = -33 .

و باستخدام هذه القيمة و التعويض بها في المعادلة ص = 2س + 6 نحصل على ص = صفر على النحو التالي :

مع ملاحظة أن التعويض بقيمة سالبة يعني إضافة النظير.

و في بعض الأحيان يؤدي جمع المعادلتين إلى ضياع أحد المجهولين و يصبح التعامل مع مجهول واحد فقط ، و بعد معرفته يمكن استخدام التعويض في أحد المعادلتين الأساسيتين لمعرفة المجهول الآخر و المثال التالي يوضح الفكرة :

                     س +ص = 5        ،  2س – ص = 1

بتمثيل المعادلتين ، كل معادلة في بطاقة مستقلة على النحو التالي:

و بجمع المعادلتين في بطاقة ثابتة نحصل على :

و بعد استبعاد النظير و ترتيب المقادير نحصل على الشكل التالي :

أي أن س = 2 ، و بالتعويض في المعادلة الأولى س +ص = 5 قيمة س = 2 نحصل على ص = 3