الأسس :
يمكن استخدام معمل الجبر في شرح الضرب المتكرر عن طريق بناء أشكال هندسية ، فعلى سبيل المثال يمكن بناء شكل يوضح العدد 3 أو 3' على النحو التالي :
و الشكل التالي يوضح عملية ضرب 3×3 = 3' على النحو التالي :
و الشكل التالي يوضح عملية ضرب3×3×3 =3 2
و لكن هل يمكن تمثيل 3×3×3×3 = 3 4
من الممكن ذلك بتكرار الشكل السابق 3 مرات على النحو التالي :
و لكن ماذا عن 3×3×3×3×3 = 3 5
من الممكن تكرار الشكل الأخير و اعتباره شكلا واحدا مكررا 3 مرات.
إلا أنه لا يمكن تمثيل الأس الأكبر من 3 في المتغيرات ، و هذا كما ذكرنا في المقدمة أحد جوانب القصور في معمل الجبر ، إلا أن موضوع الأسس يمكن تبسيطها بطريقة أخرى حيث يمكن استخدام الضرب المتكرر على النحو التالي :
لنفرض أن شخصا ما يعرف سرا معينا و أخبر ثلاثة من أصدقائه بهذا السر في اليوم الأول ، ثم قام كل واحد من هؤلاء الثلاثة بإبلاغ ثلاثة أصدقاء آخرين بذلك السر في اليوم الثاني ، و هؤلاء بدورهم أبلغ كل منهم ثلاث أصدقاء بذلك السر في اليوم الثالث. فكم عدد الأشخاص الذين سمعوا بهذا السر في اليوم الرابع؟
هذه الحادثة يمكن تمثيلها على النحو التالي :
ضع عددا من المكعبات يمثل الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الأول.
هل هو 3 مكعبات ؟ 3×1 =3'
ضع عددا من المكعبات يمثل عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الثاني.
هل هو 9 مكعبات ؟ 3×3 =23
ضع عددا من المكعبات يمثل عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الثالث.
هل هو 27 مكعبا ؟ 3×3×3= 33
و عليه فإن عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الرابع هو 3×3×3×3 = 81 شخصا .
و لنفرض أن ذلك الشخص أخبر 10 أشخاص في اليوم الأول و الذين بدورهم قام كل منهم بإخبار 10 آخرين و هكذا ، فكم عدد الذين علموا بالسر في اليوم الرابع؟
10×10×10×10= 10000 شخصا.