استخدام معمل الجبر في الهندسة :

يمكن لمعمل الجبر أن يجسد العديد من المفاهيم الهندسية مثل مفهوم المحيط ، المساحة ، الحجم ، تجسيدا محسوسا .

و في البداية يجب التعامل مع مكعبات الوحدة حيث يطلب المعلم من التلاميذ بناء مستطيل من عدد منها و حساب محيط الشكل.

مثال : أحسب محيط و مساحة الشكل التالي:

المحيط = 1 + 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 16

        = 5 + 3 + 5 + 3

       = 8 + 8

      = 16

كما يمكن استخدام قطع معمل الجبر في دراسة مفهوم المحيط و المثال التالي يوضح الفكرة :

مثال : احسب محيط الشكل التالي :

المحيط = ص + س + ص + س + ص + ص

         = 2س + 4ص

و يجب التأكد من أن التلاميذ يقومون بحد حواف " أضلاع " القطع المكونة للشكل و ليس عد القطع ذاتها.

و لحساب مساحة الشكل يجب التأكيد على ضرورة النظر إلى المسقط الرأسي للشكل دون النظر إلى القطع ذاتها ، و اعتبار القطع مسطحة في بعدين ، و التعامل معها على هذا الأساس .

و المقصود بمساحة الشكل هو مساحة المسقط الرأسي لهذا الشكل. و عليه فمساحة الشكل المكون من المكعبات هو 15و مساحة الآخر هو س ص + ص^2.

و الأشكال التالية بالرغم من أن كل منها مكون من العدد نفسه من مكعبات الوحدة إلا أن المساحة تختلف  حسب وضعها لأننا عند حساب المساحة ننظر إلى المسقط الرأسي للشكل و لا ننظر إلى القطع المكونة للشكل .

مساحة الشكل الأول = 10

مساحة الشكل الثاني = 6

مساحة الشكل الثالث = 15

 أما المساحة الإجمالية للشكل فهي عبارة عن مجموع مساحة الأوجه .

فالشكل (1) محيطة = 5+2+5+2 = 14.

و الشكل (2) محيطة = 3+2+3+2 = 10.

احسب المساحة الإجمالية للشكل (3)

 و لدراسة الحجم بصورة سهلة يجب التدريب على بناء مجسمات مختلفة من مكعبات الوحدة ، فبناؤها يساعد كثيرا في إدراك مفهوم الجحم " عدد الوحدات المكعبة التي يتكون الشكل " . و مفهوم المساحة  الكلية  " عدد الوحدات المربعة في كل الأوجه" . و يمكن حساب الحجم من خلال التفكير في مساحة القاعدة و عدد مرات التكرار حتى يصل الطلاب إلى أن:

 حجم متوازي المستطيلات = مساحة القاعدة × الارتفاع.

و الأشكال التالية يمكن حساب حجم كل منها بتطبيق القانون السابق نظرا لأن هناك تكرار لعدد المكعبات الموجودة في قاعدة كل منها.

تدريب : احسب حجم كل شكل من الأشكال التالية :

و عندما لا يكون هناك تكرار للمكعبات الموجودة في القاعدة يتم حساب حجم القطع المكونة له.

نشاط :

       قم ببناء الشكل التالي و احسب حجمه .

تمكن النظر إلى الشكل على أنه قطعتين ، واحدة فوق الأخرى ، فالقطعة السفلى أبعادها  4×4× 2 = 32 و الأخرى أبعادها 2×4×1 = 8 .

أو النظر إلى الشكل على أنه مكون من قطعتين إحداهما خلف الأخرى

فالقطعة الأمامية أبعادها 2×4×2 = 16 ، و القطعة الخلفية أبعادها 2×4×3 = 24 . و في الحالتين يكون حجم المكعب = 32 + 8 = 16 + 24 = 40 وحدة مكعبة.

نشاط :

قم ببناء المجسم السابق من المكعبات على أن يكون المجسم متماسكا.

( يمكنك استخدام نوع خاص من الغراء أو الشطرطون الشفاف للقيام بمهمة إبقاء الشكل متماسكا ، أو استخدام المكعبات المتداخلة في بناء الشكل).

قم بطلاء جميع الأوجه بقلم ملون يمكن إزالة اللون من المكعبات فيما بعد.

كم عدد المربعات التي قمت بطلائها؟

هذا العدد من المربعات في الأوجه كلها يساوي المساحة الكلية للمجسم.

المساحة الكلية = 4+4+16+16+2+2+8+8+8+8

                = 8+32+3+16+16= 76.

نشاط : قم بفصل القطعة العلوية من المجسم السابق و ضعها خلف القطعة السفلية على النحو التالي :

احسب المساحة الكلية في هذه الحالة .

و بعد التعامل مع الثوابت ( مكعبات الوحدة) يمكن دراسة المحيط و المساحة بدمج الثوابت مع بعض المتغيرات  ثم التعامل مع المتغيرات بدون الثوابت . و الأنشطة التالية توضح الفكرة.

نشاط : احسب مساحة و محيط الشكل التالي :

المساحة = ص² + س² + س

المحيط = 1+س+ص+ص+ص+(ص-س)+س+1+س

        =2س + 4ص + 2

نشاط : قم بإعادة ترتيب قطع النشاط السابق على النحو التالي:

هل يتغير محيط الشكل ؟

هل تتغير مساحة الشكل؟

احسب المحيط .

المحيط = س+1+س+س+ص+ص+ص+ص+س+1 = 4س+ 4ص+ 2

نشاط:

احسب مساحة و محيط الشكل التالي :

المساحة = 2ص² + س + س²

المحيط = ص+ص+س+1+س+1+س+(ص-س) +ص+ص+ص = 6ص + 2س +2 .

نشاط (1) : قم بتمثيل كل شكل بقطع معمل الجبر و اكمل الجدول التالي:

بعد أن درس الطالب المحيط و المساحة لابد له من دراسة المساحة عند مضاعفة بعدي الشكل ، و تكون البداية بدراسة المربع و ملاحظة المساحة الناتجة عند مضاعفة ضلع المربع.

نشاط : خذ القطعة التي تمثل س²                  و أجب عن الأسئلة التالية :

ما طول ضلع المربع  : ؟

كيف يمكنك مضاعفة طول ضلعه ؟

كيف يمكنك مضاعفة طول ضلعه الآخر؟

 هل لاحظت أن المساحة الجديدة أصبحت 4 أضعاف المساحة الأساسية عند ضرب ضلع المربع الأساسي × 2 ؟

والآن ما الذي يسحدث لمساحة المربع الأساسي إدا أردنا ضرب كل من ضلعيه في 3 ؟

هل لاحظت أن المساحة أصبحت 9 أمثال مساحة المربع الأساسي عند ضرب كل من ضلعي الأساسي في 3 .

مثل هذا النشاط سيقود الطالب إلى إدراك مفهوم التشابه في المربعات و أن نسبة التشابه تساوي النسبة بين الأضلاع المتناظرة.

و أن مربع نسبة التشابه – النسبة بين المساحتين للمربعين المتشابهين .

نشاط : أكمل الجدول التالي :

أحسب النسبة بين المساحتين.

هل المربعان متشابهان؟

أحسب نسبة التشابه.

تمرين:

قم ببناء جدول مماثل في حالة ضرب ضلع المربع الأساسي في 5 .

و بعد دراسة المربع يمكن دراسة المستطيل و ملاحظة التغيير في المساحة عند ضرب كل من ضلعيه بعدد معين.

نشاط:

اختر القطعة التي تمثل س ص من بين قطع معمل الجبر.

يمكنك مضاعفة بعدي هذه القطعة على النحو التالي :

قارن بين المساحتين .

قارن بين طول المستطيل الأول و طوله الجديد .

قارن بين عرض المستطيل الأول و عرضه الجديد .

هل لاحظت أن المساحة الجديدة أصبحت 4 أضعاف المساحة الأولى؟

نشاط اجعل طول القطعة ثلاثة أضعاف طولها الأساسي و كذلك عرضها على النحو التالي :

قارن بين المساحتين .

قارن بين الطول في الحالتين.

قارن بين العرض في الحالتين.

هل لاحظت أن النسبة بين المساحتين تساوي مربع النسبة بين الضلعين المتناظرين.

نشاط : أكمل الجدول التالي :

بالطريقة نفسها يمكن دراسة التغيير في حجم المكعب عند مضاعفة كل ضلع من أضلاعه المتداخلة وفق الخطوات التالية:

خذ مكعبا .                                        

كيف يمكنك زيادة طوله باستخدام المكعبات ؟  

لابد أنك استفدت من تكبير المربع و المستطيل حيث ستضع مكعبا إلى جوار المكعب الأساسي على النحو التالي :

بهذه الخطوة نكون قد كبرنا أحد الأبعاد في المكعب الأساسي

يمكنك تكبير البعد الآخر على النحو التالي :

بالطريقة نفسها على النحو التالي :

ما طول المكعب الأساسي ؟

ما طول المكعب الجديد ؟

ما حجم المكعب الأساسي ؟

ما حجم المكعب الجديد ؟

هل لاحظت أن نسبة التشابه 1 : 2 ، و أن النسبة بين الحجمين 1 : 8 ؟

نسبة التشابه بين الحجمين تساوي مكعب نسبة التشابه .

نشاط :

ادرس العلاقة بين حجم المكعب و الحجم الناتج من ضرب ضلع المكعب × 3 و قم ببناء جدول كالتالي :

هل لاحظت أن الحجم الجديد أصبح 27 مرة أكبر من الحجم الأساسي ؟

احسب الحجم الجديد عند ضرب ضلع المكعب الأساسي × 4 .

احسب نسبة التشابه (النسبة بين الضلع الأساسي و الجديد).

احسب النسبة بين الحجمين .

هل النسبة بين الحجمين تساوي مكعب نسبة التشابه ؟

لدراسة العلاقة بين حجمي متوازي المستطيلات بعد مضاعفة أبعاده نختار قطعة من قطع معمل الجبر التي تمثل س² ص لتكون هي متوازي المستطيلات الأساسي . و في حالة عدم توفرها نأخذ ثلاثة من المكعبات المتداخلة و نضفها إلى جوار بعضها لتمثل س²ص

حيث س = 1 ، ص = 3

و الشكل التالي تمثيل القطعة س²ص

و نقوم بتكرار النشاط السابق بمضاعفة أحد الأضلاع على النحو التالي :

و هكذا نكون قد ضاعفنا أحد الأضلاع . و بالطريقة نفسها نضاف الضلع الثاني على النحو التالي :

أما مضاعفة الضلع الثالث فتتم على النحو التالي :

و هكذا نرى أن عدد القطع المكونة للشكل الأخير تساوي ثمانية أضعاف الشكل الأساسي عند مضاعفة كل ضلع من أضلاع متوازي المستطيلات عند مضاعفة جميع أبعاده.

لمعرفة العلاقة بين الحجم الأساسي و الحجم الجديد بعد مضاعفة أضلاعه قم ببناء جدول مماثل للجدول السابق و اختر قيما للطول ، العرض ، الارتفاع ، و احسب حجم متوازي المستطيلات الأساسي ، ثم قم بمضاعفة كل بعد و احسب الحجم الجديد.

و الجدول التالي يوضح الفكرة :

هل لاحظت أن نسبة التشابه هي 1:2؟

و هي النسبة بين أبعاد الأول إلى أبعاد الثاني (الأبعاد المتناظرة) 

النسبة بين الحجمين تساوي مكعب نسبة التشابه

فحجم المتوازي الجديد 8 أضعاف الحجم الأساسي في هذه الحالة .

نشاط:

استخدم 36 مكعبا من مكعبات الوحدة لبناء متوازي مستطيلات مساحته الكلية 66 وحدة مربعة . استخدم العدد نفسه من المكعبات لبناء متوازي مستطيلات مساحته الكلية أكبر من مساحة متوازي المستطيلات الأول ( أكبر من 66)

احسب أبعاد متوازي المستطيلات الأول .

احسب مساحة متوازي المستطيلات الثاني .

احسب أبعاد متوازي المستطيلات الثاني .

قم بإعادة استخدام المكعبات الستة و ثلاثين و ابني بها متوازي مستطيلات آخر تكون مساحته الكلية أكبر من 66 .

احسب تلك المساحة .

هل الشكل الأول مطابق للتالي:  

 هل الشكل الثاني مطابق للتالي :