تمثيل المعادلات على البطاقة :
من الدروس التي يمكن استخدام معمل الجبر في شرحها و توضيحها ،المعادلات .و تستخدم فيها بطاقة المعادلات (الميزان) الموضحة على الشكل التالي :
لتمثيل المعادلة 2س -3= -7 نتبع الخطوات التالية:
1 – نمثل الطرف الأيمن من المعادلة على الميزان كل حد حسب إشارته.
2 – نمثل الطرف الأيسر من المعادلة على الميزان كل حد حسب إشارته.
و الشكل التالي يوضح تمثيل المعادلة :
الشكل التالي تمثيل للمعادلة 3س = 9 :
و الشكل التالي يمثل المعادلة س-3=5
و الشكل التالي يوضح تمثيلا للمعادلة 2س-1=س3
و الشكل التالي يمثل المعادلة ص-1 = -5
الشكل التالي يوضح تمثيل المعادلة 3-س = 8
و بالطريقة نفسها يمكن تمثيل المعادلة 2س = -4
و الشكل التالي يوضح تمثيل المعادلة 2س– 1 =5
أما المعادلة س+3 = س+1 فيمكن تمثيلها على النحو التالي :
الشكل التالي يوضح تمثيل المعادلة 2س -1 = 5+س
و الشكل التالي يوضح حل المعادلة 3-س = 8
|
|
|
|
|
|
|
حيث يتم :
1 – تمثيل المعادلة على بطاقة الميزان و إضافة -3 إلى طرفي الميزان.
2 –استبعاد الصفر.
3 – إضافة س، -5 إلى طرفي الميزان حتى نحصل على س بمفردها.
حيث إن حل المعادلة معناه ايجاد قيمة س تساوي مقدارا و ليس سالب س يساوي مقدارا.
و الشكل التالي يوضح حل المعادلة 2س -1= 5 بالطريقة نفسها.
|
|
|
|
|
|
و لحل المعادلة 2س -1 = 5 + س نتبع الخطوات التالية :
1 –تمثيل طرفي المعادلة
2 –إضافة النظير
3 –استبعاد الصفر
|
|
|
حيث تم تمثيل المعادلة و استبعاد الصفر ، و في هذه الحالة هناك تكرار لإضافة النظير و استبعاد الصفر حتى نحصل على س بمفردها.
|
|
|
و الشكل التالي يوضح المعادلة 4س = 10 – 2
|
|
|
|
و الشكل التالي يوضح حل المعادلة س-3 = 5
|
|
|
حيث تم تمثيل طرفي المعادلة على بطاقة الميزان، و بإضافة ثلاث مكعبات إلى الطرفين الموجبين تصبح البطاقة على الشكل التالي:
و باستبعاد الصفر نحصل على الشكل التالي:
و الشكل التالي يوضح حل المعادلة 2س = 6
|
|
|
|
لعلك لاحظت أن حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المجهول الذي يجعل المعادلة صحيحة ، و أن الحل يمثل المجهول في أحد طرفي المساواة و مقداره في الطرف الآخر، أي أن المجهول يساوي عدد معين أو أن عددا معينا يساوي المجهول . و لعلك لاحظت أن إضافة أي عدد إلى طرفي المساواة يحافظ على المساواة كما أن طرح أي عدد من طرفي المساواة لا يغير تلك المساواة . و عليه فإنه باستخدام هذه القاعدة يمكن حل المعادلة على النحو التالي :
ثم إضافة 4 إلى طرفي الميزان الموجبين لجعل س وحدها في الكفة على النحو التالي :
يلي ذلك استبعاد النظير حيثما وجد على كفتي الميزان و في النهاية نحصل على قيمة س = 2 على النحو التالي :
|
|
|
و بالإضافة إلى هذه المعادلات هناك معادلات من نوع مختلف، و يمكن تصنيفها في أنواع ثلاثة :
النوع الأول : و في هذا النوع تفاجأ بعدم وجود أي من الوحدات الثابتة بعد تمثيلك للمعادلة و استبعاد الصفر ، و هذا معناه أن قيمة المجهول تساوي الصفر.
و المعادلتين التاليتين هما من هذا النوع : 2 - 4 س = 2
3س + 6 = 6
قم بتمثيل كل منهما و حاول ايجاد قيمة س.
النوع الثاني: و يتميز هذا النوع بأنه بعد تمثيلك المعادلة و استبعاد الصفر سوف لا تجد أثرا للمتغير ، و هذا معناه أن المعادلة ليس لها حل. و المعادلتين التاليتين هما من هذا النوع :
2س -4 = 3 + 2س
5 – 2س = 2 (1-س)
قم بتمثيل كل منهما و حاول أن تجد قيمة س.
النوع الثالث: و في هذا النوع تلاحظ اختفاء المتغير بعد تمثيلك للمعادلة و استبعاد الصفر ، و اختفاء الوحدة الثابتة أيضا فلن تجد وجودا لأي منهما و في هذه الحالة يكون للمعادلة عدد لا نهائي من الحلول.
و المعادلتين التاليتين هما من هذا النوع :
3س -6 = -3(2-س)
5 - 2س = -2 س + 5
قم بتمثيل كل منهما و حاول أن تجد قيمة س.
هذه بالنسبة لمعادلات الدرجة الأولى ، أما معادلات الدرجة الثانية فهناك نوع خاص من المعادلات يكون فيه كل طرف من طرفي المعادلة مقدارا مربعا مثل : (س + 2)2 = 25
و في هذا النوع يكون للمربعين البعد نفسه.
و عليه فإن : س + 2√ = 25
(س+2) = +5 و منها س =3 أو (س+2) = -5 ، و منها س= -7 .
و هذا الأسلوب يمكن استخدامه في حل العديد من المعادلات التي على صورة :
س2– أس+ 1 = 9
يمكن حلها بالطريقة نفسها على النحو التالي :
حيث تم بناء مربع من الطرف الأيمن من المعادلة و مربع آخر من الطرف الأيسر، و عليه فإن طول ضلع المربع الأعلى يساوي طول ضلع المربع في الطرف الأيسر و هذا معناه أن
(س-1)2 = 3 2
(س-1) = 3 أو (س-1) = -3
و منها س =4 أو س =-2
و بالطريقة نفسها يمكن حل المعادلة :
س2 + 6س+ 9 = صفر
إلا أنه في هذه الحالة لا يوجد مربع من الطرف الأيسر من المعادلة و مع ذلك فإن الطرف الأيمن منها يمكننا انشاء مربع على النحو التالي:
|
|
= صفر |
و هذا معناه أن (س+3)2 = صفر و منها س + 3 = صفر أي س= -3
و في بعض الأحيان تكون المعادلة تساوي الصفر ألا أن طرفها الآخر ليس مقدارا مربعا فالمعادلة س2 +8س – 2 = صفر و طرفها الأيمن لا يساوي مقدارا مربعا ، ففي مثل هذه الحالة نستخدم طريقة الإكمال أي المربع، على النحو التالي:
بإكمال المربع نحصل على:
س2 + 8س = 20
|
|
=20 |
بإضافة 16 إلى الطرفين نحصل على
|
|
=20+16 = 32 |
و بالتالي تكون (س+4) =6 و منها س= +2 أو س =-10
مثال : حل المعادلة : ص= س2 +4س -5
لحل مثل هذا النوع من المعادلات نبدأ بوضع قيمة ص=صفر
ثم نجعل المقدار الثابت في جهة و المتغير في جهة أخرى
س2 +4س -5 = 0
+5 =5
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 + 4س = 5
و يلاحظ أن الطرف الأيمن من المعادلة لا يمثل مربعا ، و كذلك الطرف الأيسر، و تتلخص الطريقة في انشاء مربع من المقدار الموجود في الطرف الأيمن بإضافة عدد من الوحدات و يتم إضافة هذا العدد إلى الطرف الأيسر من المعادلة مع العدد الموجود أصلا في ذلك الجانب حيث يمكننا تكوين مربع في كل طرف من طرفي المعادلة.
و نقوم بترتيب القطع محاولين عمل مربع منها على النحو التالي:
|
|
=5 |
بإضافة 4 إلى الطرفين نحصل على 9 في الطرف الآخر و بترتيب القطع في الطرفين نحصل على :
|
|
= 5+4=9 |
اي أن : (س+2)2 = (3)2
س + 2 = 3
و إذا كانت (س+2) = 3 فإن س =1
أما إذا كانت (س+2) = 3 فإن س= -5
و بالطريقة نفسها يمكن حل المعادلة :
ص= 2س2 + 12س -14
إلا أنه في هذه الحالة يجب القسمة على 2 بعد التعويض عن قيمة ص = صفرو الخطوات التالية توضح الفكرة :
ص= 2س2 + 12س -14
ص = صفر
2س2 + 12س – 14 = صفر
بالقسة على 2 نحصل على :
س2 + 6س – 7 = صفر
بإضافة 7 إلى الطرفين نحصل على :
س2 +6س = 7
و بترتيب القطع في محاولة لبناء المربع نحصل على :
|
|
= 7 |
و بإضافة 9 إلى الطرفين لإكمال المربع نحصل على :
و عليه فإن (س+3)2 = 16
س + 3 = + 4
س = 4 – 3 وعليه فإن س = 1
أو أن س + 3 = -4 و بالتالي فإن س -7
تمارين :
حل المعادلات التالية بطريقة إكمال المربع
س2 + 4س – 5 = صفر ص = س2 -6س + 5
ص = س2– 4 س + 3 ص= س2 + 4س + 16
ص = س2– 10س + 21
