توزيع الضرب على الجمع :

درس الطالب في المرحلة الابتدائية قانون توزيع الضرب على الجمع بالصورة التالية :

5×12=5(2+10) =5×2×5×10

و في المرحلة المتوسطة درس القانون على الصورة التالية :

أ (ب+ج) = أ × ب + أ × ج

ثم في مرحلة لاحقة يدرس الطالب تحليل المقدار التالي :

     أ × ب +أ × ج

عن طريق أخذ العامل المشترك الأكبر بين الحدين على النحو التالي :

    أ(ب + ج)

ثم تعميم أخذ العامل المشترك الأكبر للحدود بصفة عامة ،كل هذه المراحل درسها الطالب دراسة مجردة دون أن يلمسها و يراها ماثلة أمامه في الوقت الذي يوضح معمل الجبر هذا المفهوم بصورة محسة ملموسة علة النحو التالي :

1 – وضع قطعتين 1×5 إلى جوار بعضهما مع القطعة 5×5 .

2 – مساحة الجزء الأول من المستطيل يساوي 2×5 و الجزء الأخير غير المظلل مساحته تساوي 5×5

3 – المستطيل بعده الأول 5 و البعد الثاني (2+5) و عليه فإن مساحته تساوي 5(2+5) = 5(7) = 35

و هي المساحة نفسها المكونة من مجموع مساحتي الجزئين (5×2) + (5×5) و عليه فإن 5(2+5) = 5×2 + 5×5

و بعد التعامل مع المكعبات التي تمثل الثوابت مع المتغيرات لشرح مفهوم توزيع الضرب على الجمع كخطوة بينية قبل استخدام الرموز. الشكل الذي يمثل مستطيلين صغيرين مساحتيهما معا تساوي 2س +س ص ، و عند ضم القطع إلى بعضها نحصل على مستطيل بعداه هما س (2+ص) و مساحته الإجمالية تساوي 2س + س ص ، و هي المساحة نفسها قبل ضم القطع ، و عليه فإن :

    س(2+ص)= 2س +س ص

   و الخطوة الثانية تمثل استخدام الرموز مباشرة.

و هكذا يتعلم الطالب توزيع الضرب على الجمع ، و التحليل إلى عوامل في الوقت ذاته و بطريقة لها معنى لدى الطالب.

الشكل التالي يوضح عملية الضرب التالية : 3(س+6) حيث تم تمثيل (س+6) ثلاث مرات على النحو التالي :

و بضم القطع إلى جوار بعضها نحصل على مستطيل أحد بعديه يساوي 3 و البعد الآخر يساوي (س +6) مما يعني أن 3 (س+ 6) = 3س +18

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب 2(4-3)

و في هذه الحالة يجب استبعاد الصفر حتى يكون

2(4-3) = 2×4 -2×3 = 8-6  =2

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب -4(1-3) :

حيث تم تمثيل 4 في المجرى الأفقي السالب و تمثيل +1 في المجرى الرأسي الموجب ، -3 في المجرى الرأسي السالب و بعد استبعاد الصفر نحصل على موجب 8

و بعد استبعاد الصفر يكون الناتج =+4

و بالطريقة نفسها يمكن تمثيل عملية ضرب 4 (5 +(-3)):

حيث يتم تكوين المستطيلات المكونة للحدود المضروبة ثم يستبعد الصفر ليكون الناتج +8 .