أ) تطبيقات باستخدام برمجية الحد النوني من الدرجة الثالثة 4 عوامل :

ويمكن الوصول إلى هذه البرمجية بالرجوع إلى موقع التعليم الإلكتروني لتطوير تدريس الرياضيات للدكتور عباس غندورة (www.aghandoura.com) ، وذلك في القسم الخاص بتعليم الرياضيات للموهوبين كما في الشكل التالي:

تستخدم هذه البرمجية لإيجاد الحد النوني للمتتابعات ذات الفرق الثالث ، حيث تعرض البرمجية متتابعةً موضحةً فيها ثبات الفروق عند الفرق الثالث .

  وتطلب البرمجية إدخال قيم a,b,c,d للوصول إلى الحد النوني للمتتابعة

ويمكن الرجوع إلى قيم الفروق في جدول الفروق السابق ومطابقة قيمه بقيم الفروق في المتباينة المعطاة

متتابعة (1):

المتتابعة التالية : 22 ، 73 ، 230 ، 553، 1102، 1937، .....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثالث كما في الشكل:

وللحصول على قيم a,b,c,d مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق السابقة .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثالث معادلة الدرجة الثالثة   نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 12

6a=60

a=10

قيمة الحد الأول في الفرق الثاني:   

12a+2b = 106

12 (10) + 2b =106

120+2b=106

2b=106-120

2b= -14

b= -7

نعوض بقيمة الفرق الأول من المتتابعة:

7a+3b+c

7(10) + 3(-7) + c =51

70 -21 + c = 51

49 + c =51

c = 51 - 49

c = 2

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة

a + b + c + d = 22

10 + (-7) + 2 + d = 22

5 + d = 22

d = 17

وبتعويض قيم a,b,c,d في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو :

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (2):

- لدينا المتتابعة التالية: 10، 13، 24، 49، 94، 165، ....

وللحصول على قيم a,b,c,d مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق السابقة .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثالث معادلة الدرجة الثالثة   نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 6

6a=6

a=1

قيمة الحد الأول في الفرق الثاني:   

12a+2b = 8

12(1) + 2b = 8

12 + 2b = 8

2b = 8 - 12

2b = -4

b= -2

نعوض بقيمة الفرق الأول من المتتابعة:

7a+3b+c = 3

7(1) + 3(-2) + c =3

7 -6 + c = 3

1+ c = 3

c = 2

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة

a + b + c + d = 10

1+(-2) + 2+ d = 10

1+d = 10

d = 9

وبتعويض قيم a,b,c,d في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (3):

- لدينا المتتابعة التالية:-6، 16، 54، 114، 202، 324، ...

وللحصول على قيم a,b,c,d مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق السابقة .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثالث معادلة الدرجة الثالثة   نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 6

6a=6

a=1

قيمة الحد الأول في الفرق الثاني 16:   

12a+2b = 16

12(1) + 2b = 16

12 + 2b = 16

2b =16 - 12

2b = 4

b= 2

نعوض بقيمة الفرق الأول من المتتابعة (22):

7a+3b+c =22

7(1) + 3(2) + c =22

7 +6 + c = 22

13+ c = 22

c = 9

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة (-6)

a + b + c + d = -6

1+(2) + 9+ d = -6

12+d = -6

d = -18

وبتعويض قيم a,b,c,d في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (4):

- لدينا المتتابعة التالية:10، 84، 272، 622، 1182، 2000، ...

وللحصول على قيم a,b,c,d مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق السابقة .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثالث معادلة الدرجة الثالثة   نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 48

6a=48

a=8

12a+2b = 114

12(8) + 2b = 114

96 + 2b = 114

2b = 114-96

2b = 18

b= 9

نعوض بقيمة الفرق الأول من المتتابعة (74):

7a+3b+c =74

7(8) + 3(9) + c =74

56 +27 + c = 74

83+ c = 74

c= 74 - 83

c = - 9

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة (10)

a + b + c + d = 10

8+9 + (-9)+ d =10

8+d = 10

d = 2

وبتعويض قيم a,b,c,d في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (5):

- لدينا المتتابعة التالية:12، 7، 10، 33، 88، 187، ...

وللحصول على قيم a,b,c,d مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق السابقة .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثالث معادلة الدرجة الثالثة   نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 12

6a=12

a=2

قيمة الحد الأول في الفرق الثاني 8:   

12a+2b = 8

12(2) + 2b = 8

24 + 2b = 8

2b = 8-24

2b = -16

b= -8

نعوض بقيمة الفرق الأول من المتتابعة (-5):

7a+3b+c =-5

7(2) + 3(-8) + c =-5

14 -24 + c = -5

-10+ c = -5

c= -5+10

c = 5

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة (12)

a + b + c + d = 12

2-8 + 5+ d =12

-1+d = 12

d = 12 + 1

d = 13

وبتعويض قيم a,b,c,d في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو