الحدود الجبرية

 

هناك العديد من المحاولات الجادة التي تهدف إلي تبسيط المفاهيم الرياضية إلى واقع محسوس ومن تلك المحاولات مكعبات الأساس عشرة حيث يمكن اعتبار المربع  10 10 10 س3

والمستطيل الذي يمثل 10 10 س2

والمستطيل 10 1 بمثابة س

والمربع الصغير الذي يمثل الوحدة مما يمكننا من تمثيل العديد من المقادير الجبرية وضربها .

 

 

مثال (1 )

 

يمكن جمع (2 س2 + 3س + 3)  و( 2س2 + 2س + 6 )

 

 

 

 

بالتالي :-

 

 

 

مثال (2)

 

 

 

 

 

مثال (3)

 

يمكن تمثيل عملية طرح( س2 + س +)2 من (2س + 3س + 4 )

على النحو التالي :-

 

 

 

مثال ( 4 )

 

 

 

 

مثال ( 5  )

 

يمكن تمثيل عملية ضرب  ( 3س + 2 ) ( 2س + 1 )  كالتالي :-

 

 

( 3س + 2 ) ( 2س + 1 ) = 6س2 + 3س + 4س + 2

                                    = 6س2 + 7س + 2

 

 

 

مثال ( 6 )

 

يمكن تمثيل ( 2س + 1 ) ( س + 3 ) على النحو التالي :-

 

 

 

 ( 2س + 1 ) (2 س + 3 ) = 4س2 + 6س +2 س + 3

                                    = 4س2 + 8 س + 3

 

 

مثال ( 7 )

 

يمكن تمثيل ( س + 4 ) ( س+ 1 ) , ( س + 2 ) ( س + 3 ) , وكذلك ( س + 2 ) ( س + 2 ).

 

 

 

مثال ( 8 )

 

 

يمكن تمثيل ( س + 1 )3 بمكعبات دينز على النحو التالي :-

 

 

 

( س + 1 ) 3 = س3 + 3 س2 + 3س + 1

 

على اعتبار أن:

 

 

 يمكن تمثيل عملية ضرب ( س + 2ص ) ( س + ص )

 

 

( س + 2ص ) ( س + ص ) =

                               = س2 + س ص + 2س ص + 2ص2

                               = س2 + 3س ص + 2ص2

 

 

 

 

كما يمكن تمثيل المتطابقات الأساسية كالتالي :

 

 

مربع مجموع حديين

 

 

( س + ص )2 = س2 + 2س ص + ص2

 

 

 

مربع الفرق بين حديين

 

 

 

 ( س- ص )2 = س2 + 2س ص+ ص2

 

 

 

 

الفرق بين مربعين

 

 

 

 

( س2 ص2 ) = ( س + ص ) ( س ص )            

 

وعلى اعتبار أن:-

 

 

 

مكعب مجموع حديين

 

 

 

(س+ ص ) 3 = س3 + 3س2 ص + 3 س ص2 + ص3

 

 

 

 

 

الفرق بين مكعبين

 

يمكن تمثيل متطابقة الفرق بين مكعبين بطريقة مشابهة لمكعب مجموع حدين حيث يمثل س طول ضلع المكعب الكبير المكون من القطع مجتمعة وبالتالي يكون حجم المكعب الكبير س3 .

ويكون حجم المكعب الصغير هو ص3 وعند الطرح   (استبعاد ) المكعب الصغير الذي حجمه ص3 من حجم الشكل المتكونة من القطع مجتمعة الذي حجمه س3 ويكون الشكل التالي يمثل المتطابقة  س3 ص3 .

 

 

 

 

 

وهذا الحجم عبارة مجموع حجوم القطع المكونة له وهذه القطعة حجومها كالتالي :

القطعة السفلية حجمها = سس(س- ص )

ومتوازي المستطيلات الكبير حجمه = س ص (س- ص )

ومتوازي المستطيلات الصغير حجمه = صص (س- ص)

وهذا معناه :

س3 ص3 = س2 ( س- ص ) + س ص  ( س- ص ) + ص2 ( س- ص ) .

               = ( س - ص ) (س2 + س ص +  ص2 )

 

 

 

مجموع مكعبين 

 

لإيجاد مفكوك مجموع مكعبين نتبع الخطوات التالية :-

 

 

         بناء مكعب واعتباره  س3 .

         يضاف المكعب الصغير  ص3 على المكعب  س3 فنحصل على الشكل  س3 + ص3

         نقتطع الشكل الذي حجمه  ص2 ( س + ص )

         فك الجزء المتبقي وأضافته إلى أحد الجزئيين فيصبح حجمه س ( س ص ) ( س + ص )

         وبتجميع الشكل ينتج :

         س3 + ص3 = ص2 ( س + ص ) + س ( س ص ) (س + ص )

= س ص2 + ص3 + س ( س2 ص2 )

= س ص2 + ص3+ س3   س ص2

= ( س + ص ) ( ص2 + س2 _ س ص )             

 = ( س+ ص )  ( س2 س ص + ص2 )

مجموع مكعبين =

 ( مجموع الحديين ) ( مربع الحد الأول ) حاصل  ضرب الحديين  + مربع الحد الثاني  .