نظم المعادلات :

تمهيد :

في حياتنا اليومية تصادفنا الكثير من العمليات الرياضية

التي تحوي مسائل حسابية ذات حدود مجهولة ، وتأخذ

هذه المسائل الكثير من الصيغ والأشكال ، ويطلب منا

عادة إيجاد قيم تلك الحدود المجهولة ، ومن المهم أن تكون

المعطيات في تلك المسائل كافية لإيجاد تلك القيم المجهولة...

فعلى سبيل المثال لا الحصر :-

لنفرض أن أحدهم اشترى كتابان وقلم واحد بمبلغ 10 ريالات ، فكم ثمن كل منهما ؟

في هذه الحالة ليس لدينا معطيات كافية تساهم في إيجاد

قيم الحدود المجهولة ( ثمن الكتاب الواحد وكذا القلم )

فليس أمامنا هنا إلا التخمين ..

ولنأخذ مثال آخر : اشترى احدهم كتابان وقلم بملغ

10 ريالات ، واشترى آخر 3 كتب بمبلغ 12 ريال

من نفس المحل ،،فكم يكون ثمن كل منهما ؟؟

في هذه الحالة فإن المعطيات كافية ،لأن عدد

المعطيات مساوي لعدد الحدود المجهولة ويمكننا

التوصل للحل وبذلك فإن الشكل النمطي المعروف

للحل هو استخدام ما يسمى بنظم المعادلات ،

ويقصد بها ترجمة المعطيات الموجودة في السؤال إلى شكل معادلات مستخدمين الرموز (الحروف الأبجدية والأرقام ) ، بحيث يكون لدينا لكل قمة مجهولة رمز ( حرف ).

فمثلا لحل السؤال السابق بإمكاننا استخدام الحرف ( ك ) مثلا ليمثل قيمة الكتاب الواحد والحرف ( ق ) ليمثل قيمة القلم الواحد مع العلم أنه يمكننا استخدام أي رمزين آخرين مثل س و ص الرمزين الأكثر شهرة في عالم المعادلات خاصة والرياضيات بشكل عام ، وبالتالي فسيكون شكل المعادلات وطريقة الحل كما يلي :-

أولا :- كتابة المعادلتين مستخدمين معطيات السؤال :

( كتابان وقلم بعشرة ريالات ) 2 ك + ق = 10 ريال ............( 1 )

( ثلاث كتب باثنتي عشر ريالا ) 3 ك = 12 ريال ..............( 2 )

قسمة المعادلة ( 2 ) على 3 يكون

ك = 4 وهو ثمن الكتاب الواحد

بالتعويض في المعادلة ( 1 )

2 × 4 + ق = 10

8 + ق = 10

بطرح 8 من الطرفين

ق =2 وهو سعر القلم الواحد

ومنه سعر الكتاب الواحد = 4 ريالات وسعر القلم الواحد = 2 ريالات

ويجب أن نشير هنا أن نظم المعادلات من المفاهيم التي يواجه الطلاب فيها شي من الصعوبة ، ويعود السبب في ذلك إلى المسارعة في تقديم هذا المفهوم بشكله المجرد ( كما تم شرحه في حل السؤال السابق ) ، ولكي نتجاوز تلك الصعوبة لابد من التمهيد والتدرج في إيصال مفهوم نظم المعادلات باستخدام الطرق المحسوسة وشبه المحسوسة لتساعدنا على استيعاب هذا المفهوم حتى نصل للصور الأكثر تعقيدا أو ما تسمى بالطرق المجردة ، من هذه الوسائل استخدام البرمجيات التفاعلية عن طريق الحاسب الآلي .

وقد حوى موقع الدكتور عباس غندورة الكثير منها ..

وسنورد فيما يلي شرحا مفصلا عنها ، ابتداء من الدخول للموقع ومن ثم لهذه البرمجية ، وكذلك شرح أيقونات واجهة التطبيق وحتى طريقة إيجاد الحل بإذن الله .

و تهدف البرمجية إلى مساعدة الطالب في إيجاد ثمن كل نوع أنواع الفاكهة المعطاة حيث تمثل كل مجموعة فاكهة ذات قيمة معينة معادلة ، وفيما يلي الشرح بالتفصيل :-

أولا :- الدخول للبرمجية :-

1- الدخول للرابط http://www.aghandoura.com

2-

3-

4-

بعد الضغط على علامة اليد ستظهر لك واجهة التطبيق كما في الشكل التالي ..

ثانيا :- شرح رموز واجهة البرمجية :-

ويبين الشكلين التاليين توضيحا لكل الرموز التي ستظهر لك في واجهة البرمجية كما يلي :-

· وعند النقر بالمؤشر على المستطيلات التي تخفي الأعداد ستظهر لك واجهة البرمجية بهذا الشكل .

ثالثا :- مصطلحات سنستخدمها أثناء شرح بعض الأمثلة :-

عند شرح طريق الحل سنستخدم مصطلحي الصف والعمود ،، ولكي يتضح لك هذين المصطلحين انظر للشكلين التاليين :-

ومن المهم الإشارة إلى أن البرمجيات تأخذ أشكالا عدة تختلف من حيث درجة الصعوبة وكذلك الحد الأعلى لمجموع القيم وسنحاول فيما يلي أن نستعرض عدة من هذه النظم المتفاوتة في درجة الصعوبة .

أولا : عدة أمثلة على نوعين من الفاكهة ( عدد المجاهيل = 2 ) :-

المثال الأول :-

الحل :-

· من العمود الثاني (3 ليمونات = 9 أي ليمونة واحدة = 3 )

· من العمود الثالث ( 3 برتقالات = 12 أي البرتقالة الواحدة = 4 )

المثال الثاني :-

الحل :-

· من الصف الأول (ليمونتان وبرتقالة = 46 )

· من الصف الثالث ( ليمونة وبرتقالتان = 47 )

· بجمع الصف الأول والثالث عليه فإن ( 3 ليمونات و 3 برتقالات = 93 )

· بذلك فإن ( برتقالة وليمون = 31 )

· بعد خصم 31 قيمة برتقالة وليمونة من الصف الأول ( ثمن الليمونة الواحدة =15 )

· لأن الليمونتان = 30 فمن الصف الأول ( يكون ثمن البرتقالة = 16 )

المثال الثالث :-

الحل :-

· من العمود الثاني (ليمونتان وبرتقالة = 17 )

· من العمود الثالث ( ليمونة وبرتقالتان = 13 )

· بجمع العمودين الثاني والثالث عليه فإن ( 3 ليمونات و3 برتقالات = 30 )

· بذلك فإن ( ثمن ليمونة وبرتقالة = 10 )

· بعد خصم 10 ثمن ليمونة وبرتقالة من العمود الثالث ( يكون ثمن البرتقالة = 3 )

· وعليه من العمود الثالث ثمن برتقالتان = 6 ( وثمن الليمونة الواحدة = 7 )

المثال الرابع :-

الحل :-

· من الصف الأول (ليمونتان وبرتقالة = 85 )

· من العمود الثاني ( 3 ليمونات = 75 )

· من العمود الثالث ( الليمونة = 25 )

· من الصف الأول فإن ليمونتان = 50وعليه فإن ( البرتقالة = 35 )

المثال الخامس :-

الحل :-

· من الصف الثالث (ليمونة وبرتقالتان = 22)

· من العمود الثالث ( ليمونتان وبرتقالة = 14 )

· بجمع الصف الثاني والعمود الثالث ( 3 ليمونات و3 برتقالات = 36 )

· بذلك فإن ( ثمن ليمونة وبرتقالة = 12 )

· بعد خصم 12 ثمن ليمونة وبرتقالة من العمود الثالث ( يكون ثمن الليمونة = 2 )

· وعليه من العمود الثالث ثمن الليمونتان = 4 ( وثمن البرتقالة الواحدة = 10 )

المثال السادس :-

الحل :-

· من الصف الأول (برتقالتان وليمونة = 149 )

· من العمود الثالث ( ليمونتان وبرتقالة = 121 )

· بجمع الصف الأول والعمود الثالث عليه فإن ( 3 ليمونات و 3 برتقالات = 270 )

· بذلك فإن ( برتقالة وليمون = 90 )

· بعد خصم 90 قيمة برتقالة وليمونة من الصف الأول ( ثمن البرتقالة الواحدة =59 )

· لأن البرتقالتان = 118 من الصف الأول ( يكون ثمن الليمونة الواحدة = 31 )

ثانيا : عدة أمثلة على 3 أنواع من الفاكهة ( عدد المجاهيل =3 ) :-

المثال الأول :-

الحل :-

· من الصف الثاني (برتقالتان وكمثرى = 6 )

· من الصف الثالث ( حبتي كمثرى وبرتقالة = 9 )

· بجمع الصف الثاني والثالث عليه فإن ( 3 حبات كمثرى و 3 برتقالات = 15 )

· بذلك فإن ( برتقالة وكمثرى = 5 )

· بعد خصم 5 قيمة برتقالة وكمثرى من الصف الثاني ( ثمن البرتقالة الواحدة =1 )

· لأن البرتقالتان = 2 من الصف الثاني ( يكون ثمن الكمثرى = 4 )

· من الصف الأول اخصم 4 قيمة كمثرى يتبقى 6 قيمة ليمونتان وعليه فإن ( الليمونة = 3 )

المثال الثاني :-

الحل :-

· من العمود الثالث (حبتي كمثرى وبرتقالة = 32 )

· من الصف الثالث ( كمثرى وبرتقالتان= 49 )

· بجمع الصف الثالث والعمود الأول عليه فإن ( 3 حبات كمثرى و 3 برتقالات = 81 )

· بذلك فإن ( برتقالة وكمثرى = 27 )

· بعد خصم 27 قيمة برتقالة وكمثرى من الصف الأول ( ثمن الليمونة الواحدة =29 )

· بعد خصم 27 قيمة برتقالة وكمثرى من العمود الثالث ( ثمن الكمثرى الواحدة =5 )

· بعد خصم 27 قيمة برتقالة وكمثرى من الصف الثالث ( ثمن البرتقالة الواحدة =22 )

المثال الثالث :-

الحل :-

· من الصف الأول (ليمونتان وكمثرى = 70 )

· من الصف الثالث ( كمثرى وليمونة وبرتقالة = 73 )

· من الصفين الأول والثالث ( يكون الفرق بين الليمونة والبرتقالة = 3 ) لصالح البرتقالة

· من العمود الثالث استبدل الليمونة بالبرتقالة وأضف 3 ( يكون ثمن 3 برتقالات = 78 )

· يكون ثمن ( البرتقالة الواحدة 26 )

· من العمود الثالث استبدل برتقالتين بليمونتين واخصم 6 فرق السعر

· ( يكون ثمن3 ليمونات = 69 )

· يكون ثمن ( الليمونة الواحدة 23 )

· من الصف الثالث اخصم 23 ثمن ليمونة و 26 ثمن برتقالة ( يكون ثمن الكمثرى =24)

المثال الرابع :-

الحل :-

· من الصف الأول (برتقالتان وليمونة = 33 )

· من الصف الثاني ( برتقالة وليمونة وكمثرى = 66 )

· من الصفين الأول والثاني فإن ( فرق السعر بين البرتقالة والكمثرى 33 لصالح الكمثرى )

· من العمود الأول ضع برتقالتين بدل حبتي الكمثرى واحذف 66 فرق السعر

· وعليه يكون ( 3 برتقالات = 36 والبرتقالة الواحدة = 12 )

· من الصف الأول اخصم 24 قيمة برتقالتين ( تكون قيمة الليمونة = 9 )

· من الصف الثاني بعد خصم 21 قيمة برتقالة وليمونة ( قيمة الكمثرى = 45 )

المثال الخامس :-

الحل :-

· من الصف الأول (حبتي كمثرى وبرتقالة = 197 )

· من العمود الأول ( كمثرى وبرتقالتان = 154 )

· من الصف الأول و العمود الثالث ( 3 برتقالات و 3 حبات كمثرى = 351 )

· وعليه فإن ( البرتقالة والكمثرى = 117 )

· من الصف الثاني اخصم قيمة 117 قيمة برتقالة وكمثرى تكون ( قيمة الليمونة = 38 )

· من العمود الثالث اخصم 76 قيمة ليمونتان ( يكون قيمة الكمثرى = 80 )

· من الصف الثاني اخصم قيمة 118 قيمة كمثرى وليمونة تكون ( قيمة البرتقالة = 37 )

المثال السادس :-

الحل :-

· من الصف الثاني (كمثرى وليمونتان = 111)

· من العمود الثاني ( حبتي كمثرى وليمونة = 63 )

· بجمع الصف الثاني والعمود الثاني ( 3 ليمونات و3 حبات كمثرى = 174 )

· بذلك فإن ( ثمن ليمونة كمثرى = 58 )

· بعد خصم 58 ثمن ليمونة وكمثرى من الصف الثالث ( يكون ثمن الليمونة = 53 )

· بعد خصم 58 ثمن ليمونة وكمثرى من الصف الثاني ( يكون ثمن البرتقالة = 49 )

· بعد خصم 58 ثمن ليمونة وكمثرى من العمود الثاني ( يكون ثمن الكمثرى = 5 )

ثالثا : عدة أمثلة على 4 أنواع من الفاكهة ( عدد المجاهيل = 4 ) :-

المثال الأول :-

الحل :-

· من العمود الأول (2برتقال + كمثرى = 11 )

· من العمود الثالث ( فراولة + كمثرى + برتقالة = 10 )

· وعليه فرق السعر بين البرتقال و الفراولة = 1 لصالح البرتقالة

· استبدل الفراولة في الصف الثالث ببرتقالة وبذلك نضيف ريال فرق السعر

· يكون الصف الثالث 3 برتقال = 15 ريال ومنه ( برتقالة واحدة = 5 ) .

· من العمود الأول اخصم 10 قيمة برتقالتين تكون ( الكمثرى = 1 )

· من الصف الثالث اخصم 10 قيمة برتقالتين تكون ( الفراولة = 4 ).

· من الصف الأول اخصم 9 قيمة برتقالة وفراولة تكون ( الليمونة = 3 ) .

المثال الثاني :-

الحل :-

· من الصف الأول (ليمونتان وبرتقالة = 51 )

· من الصف الثاني ( ليمونتان وفراولة = 54 )

· من الصفين الأول والثاني فرق السعر بين الفراولة والبرتقالة ( 3 لصالح الفراولة )

· من العمود الأول ضع برتقالة بدل الفراولة واخصم 3 فرق السعر يكون ( برتقالتين وليمونة = 45 )

· من الصف الأول والعمود الأول يكون ( 3 برتقالات و 3 ليمونات = 96 )

· قيمة برتقالة والليمونة = 32

· بعد خصم 32 قيمة برتقالة ليمونة من الصف الأول تكون ( ثمن الليمونة الواحدة =19 )

· بعد خصم 32 قيمة برتقالة وليمونة من العمود الثالث تكون ( ثمن الفراولة الواحدة =16 )

· بعد خصم 29 قيمة برتقالة وفراولة من الصف الثالث تكون ( ثمن الكمثرى الواحدة =3 )

· بعد خصم 38 قيمة ليمونتان من الصف الأول تكون ( ثمن البرتقالة = 13)

المثال الثالث :-

الحل :-

· من الصف الأول (فراولة وليمونة وكمثرى = 54 )

· من الصف الثاني ( فراولة وبرتقالة وكمثرى = 37 )

· من الصفين الأول والثاني ( يكون الفرق بين الليمونة والبرتقالة = 17 ) لصالح الليمونة

· من العمود الثاني استبدل البرتقالة بالليمونة وأضف 17 ( ليمونتان وكمثرى = 87 )

· بجمع العمود الثاني والصف الثالث يكون لدينا ( 3 ليمونات و3 حبات كمثرى =132 )

· يكون لدينا ثمن ليمونة وكمثرى = 44

· ( يكون ثمن3 ليمونات = 69 )

· من الصف الأول اخصم 44 ثمن ليمونة وكمثرى تكون قيمة ( الفراولة = 10 )

· من العمود الأول اخصم 20 قيمة حبتي فراولة تكون قيمة (الكمثرى =1)

· من الصف الثالث اخصم 2 قيمة حبتي كمثرى تكون قيمة ( الليمونة = 43 )

· من الصف الثاني اخصم 11 قيمة كمثرى وفراولة تكون قيمة ( البرتقالة = 26 )

المثال الرابع :-

الحل :-

· من الصف الثاني (برتقالة وحبتي كمثرى = 44 )

· من الصف الثالث ( فراولة وحبتي كمثرى= 63 )

· من الصفين الثاني والثالث فإن ( فرق السعر بين البرتقالة والفراولة 19 لصالح الفراولة )

· من العمود الأول ضع فراولة بدل البرتقالة وأضف 19 فرق السعر ليصبح ثمن العمود الأول 66

· من العمود الأول والصف الثالث ثمن 3 حبات فراولة 3 حبات كمثرى =129

· تكون قيمة الفراولة والكمثرى = 43

· من الصف الثالث بعد خصم 43 قيمة فراولة وكمثرى ( قيمة الكمثرى = 20 )

· من العمود الأول بعد خصم 43 قيمة فراولة وكمثرى تكون ( قيمة البرتقالة = 4 )

· من الصف الثالث بعد خصم 40 قيمة حبتي كمثرى تكون ( قيمة الفراولة = 23 )

· من الصف الأول بعد خصم 27 قيمة برتقالة وفراولة تكون ( قيمة الليمونة = 28 )

المثال الخامس :-

الحل :-

· من العمود الأول (ليمونتان وفراولة = 45 )

· من العمود الثالث ( ليمونتان وبرتقالة = 60 )

· من العمود الأول والعمود الثالث ( فرق السعر = 15) لصالح البرتقال

· من الصف الثالث استبدل الفراولة بحبة برتقال وأضف 15 فرق السعر ليكون مجموع الصف الثالث 66 .

· من الصف الثالث والعمود الثالث مجموع 3 برتقالات و3 ليمونات = 126

· عليه فإن سعر البرتقالة والليمونة= 42

· من العمود الثالث اخصم 42 ثمن برتقالة وليمونة تكون قيمة ( الليمونة = 18 )

· من العمود الثالث اخصم 36 قيمة ليمونتان تكون قيمة (البرتقالة =24)

· من العمود الأول اخصم 36 قيمة ليمونتان تكون قيمة ( الفراولة = 9 )

· من الصف الأول اخصم 27 قيمة ليمونة وفراولة تكون قيمة ( الكمثرى = 36 )

المثال السادس :-

الحل :-

· من العمود الثاني (حبتي كمثرى وفراولة = 105 )

· من الصف الثاني ( حبة كمثرى وحبتي فراولة = 84 )

· وعليه فإن 3 حبات فراولة و 3 حبات كمثرى = 189

· ومنه فإن فراولة وكمثرى = 63

· من الصف الثاني اخصم 63 قيمة فراولة وكمثرى تكون ( قيمة الفراولة = 21 )

· من الصف الثاني اخصم 42 قيمة حبتي فراولة تكون ( قيمة كمثرى = 42 )

· من العمود الأول اخصم 21 قيمة فراولة تكون قيمة برتقالتين 6 ( والبرتقالة= 3 )

· من الصف الأول اخصم 24 قيمة برتقالة وفراولة تكون ( قيمة الليمونة = 46 )

ولاحظ البرمجية نظم المعادلات في التسلسل (28 ) فهي شبيه إلى حد كبير جدا في البرمجيات السابق ذكرها حيث أن الاختلاف يكمن في بعض الفنيات المتعلقة بالتعامل مع البرمجية لكن المضمون واحد تماما ..

مثال :-

· من الصف الثاني 1 آيسكريم = 15

· من العمود الأول 1 نجمة = 19 ( بعد خصم 30 قيمة 2 آيسكريم )

· من الصف الأول بعد طرح (38 قيمة نجمتين ) يكون قيمة الطبل الواحد 18