المحيط :

من المعلوم أن المحيط هو قياس طول الخط الذي يحيط بشكل ثنائي الأبعاد. ومن خلال استخدام نماذج المثلثات نستطيع تقديم مفهوم المحيط بصورة محسوسة .

محيط المثلث:

مثال : أوجد محيط المثلث التالي

محيط المستطيل:

وبالتالي فإن محيط المستطيل = 1+2+1+2= 6 وحدات طول ومن خلال الشكل يستطيع الطالب أن يستنتج أنه يقوم بجمع طولين وعرضين وبالتالي بإمكانه التوصل إلى التعميم الرياضي التالي :

محيط المستطيل  = 2 ( الطول + العرض  )

مثال : أوجد محيط المستطيل التالي

بتطبيق العلاقة السابقة نجد أن محيط المستطيل السابق = 2(4+1) = 2×5=10 وحدات طول

محيط المربع:

يتكون المربع من أربع وحدات من المثلثات القائمة كما هو موضح في الشكل التالي:

وبالتالي فإن محيطه يساوي مجموع أطواله = 2+1+1+2+1+1= 8 وحدات طول .

وعليه يستنتج الطالب أن بإمكانه إيجاد محيط المربع من خلال ضرب طول أحد أضلاعه أربعة مرات . ليصل إلى التعميم الرياضياتي التالي :

محيط المربع  = 4 × طول الضلع

محيط المربع السابق = 4 × طول الضلع = 4×4= 16 وحدة طولية.

محيط المعين:

الجانب المهمة هو الوصول إلى تعميم لمحيط المعين فأضلاع المعين عبارة عن الوتر في كل مثلث من المثلثات الأربع وبالتالي بإمكاننا إيجاد المحيط من خلال ضرب طول أحد تلك الأضلاع ×4 .

وبالتالي فإن :

محيط المعين  = 4 × طول الضلع

محيط شبه المنحرف:

مثال : أوجد محيط شبه المنحرف  التالي

من خلال معرفة الطالب لخصائص المثلثات بامكانه إيجاد محيط شبه المنحرف السابق

محيط متوازي الأضلاع:

يستطيع الطالب ان يوجد محيط متوازي الأضلاع السابق

ويستطيع الطالب أن يستنتج أن هنالك  كل ضلعين متقابلين متقابلين وبالتالي يمكن صياغة قاعدة محيط متوازي الأضلاع في الصورة التالية:

محيط متوازي الأضلاع = 2 ( طول الضلع الأكبر + طول الضلع الأصغر )

مثال : أوجد محيط متوازي الأضلاع التالي :

المساحة والمحيط :

من المثال السابق يتضح أن الشكلين كلاهما له نفس المساحة وهي أربع مثلثات وتساوي أربع وحدات مربعة.

ولكن ومن خلال معلومية أطوال المثلث القائم الزاوية نجد أن :

محيط الشكل الأول = 1+1+2+2+2+2= 10

ومحيط الشكل الثاني  = 2+2+2+2 = 8

مثال آخر

مثال آخر

دراسة أبعاد أضلاع المثلثات

بإستخدام قطع المثلثات القائمة نستطيع شرح متباينة المثلث بشكل محسوس والتي تنص على أن  مجموع طولي ضلعين في أي مثلث أكبر من طول الضلع الثالث .

كما يوضحها الشكل التالي

فمن خلال ترتيب المثلثات يالصورة السابقة يستنتج الطالب أن مجموع طولي ضلعين في أي مثلث أكبر من طول الضلع الثالث .

مستخدما المثلثات السابقة أبحث صحة العبارات التالية :

•        الضلع الاطول في المثلث يقابل الزاوية ذات القياس الاكبر

•        الضلع الاصغر يقابل الزاوية ذات القياس الاصغر

•         اذا كان مربع طول الضلع الاطول في مثلث مساويا  مجموع مربعي طولي الضلعين الاخرين فإن الزاوية المقابلة لهذا الضلع تكون قائمة وبالتالي المثلث قائم   .

القطعة المتوسطة للمثلث :

حيث تعتبر القطعة المستقيمة أ ب هي قطعة منصفه في المثلثين السابقين فهي تمر بأحد الروؤس وتمر بمنتصف الضلع المقابل لذلك الرأس .حيث أن استخدام قطع المثلثات يُسهّل

على الطالب ملاحظة ذلك .

أنواع المثلثات بحسب أطوال أضلاعها:

يستطيع الطالب من خلال هذه النماذج دراسة أنواع المثلثات تبعا لأضلاعها المثلث متطابق الضلعين ، المثلث مختلف الأضلاع .

ا

لمثلث متطابق الضلعين :

ويُعرّف على انه مثلث فيه ضلعين متطابقين . ومن خلال مثلثين قائمي الزاوية يستطيع الطالب أن يكون مثلثا متطابق الضلعين.كما هو موضح في الشكل التالي:

ويستنتج الطالب عند تكوينه للمثلث متطابق الضلعين أن

·       زاويتا القاعدة متطابقتان. حيث تعتبر هي نفس الزاوية في المثلثين قائمي الزاوية .

·       العمود المنصف للضلع الثالث يمر من الزاوية المقابلة له وينصفها.

·       منصف زاوية الرأس هو عمودي على القاعدة ويمر في المنتصف.حيث تكوّن من التقاء ضلع الزاويتين القائمتين للمثلثين قائمي الزاوية.

·       منصف زاوية الرأس هو خط تناظر للمثلث متطابق الضلعين.

المثلث مختلف الأضلاع :

حدد نوع المثلثات التالية تبعا لأضلاعها

الزوايا :

تعرف الزاوية على أنها شكل يتكون من نصفي مستقيمين لهما نقطة البداية نفسها وتقاس بالدراجات.

أنواع الزوايا :

الزاوية القائمة  : وهي الزاوية التي يكون قياسها 90  ْ .

الزاوية المنفرجة : وهي الزاوية التي يكون قياسها أكبر من 90 ْ وأقل من 180 ْ.

والشكل التالي يوضح الزاوية المنفرجة

الزاوية الحادة : وهي الزاوية التي يكون قياسها أكبر من 0ْ وأقل من 90 ْ.

والشكل التالي يوضح الزاوية الحادة

الزاوية المستقيمة: وهي الزاوية التي يكون قياسها مساويا لـ 180  درجة.

 والشكل التالي يوضح الزاوية المستقيمة حيث يمثل اتحاد الزاويتين القائمتين زاوية مستقيمه قياسها 180 

الزاوية الدائرية: وهي الزاوية التي يكون قياسها مساويا لـ 360  ْ. والشكل التالي يوضح الزاوية الدائرية حيث يمثل إتحاد أربع زوايا قائمة في أربعة مثلثات لتكون زاوية دائرية

 .

الزوايا المتجاورة  

يستطيع الطالب من خلال استخدام نماذج المثلثات أن يمثل زوايا متجاورة وسوف يلاحظ أنه لكي يكوّن زاويتين متجاورتين لابد أن تتوافر فيها الشروط التالية :

1.  أن يكون لهما رأس مشترك.ممثل من أتحاد رأسي المثلث المستخدم .

2.  أن يكون لهما ضلع مشترك . عبارة عن ضلعي المثلثين

3.  أن تكون على جانبي الضلع المشترك.

مثال آخر :

·       الزاوية الأولى نشأت من اتحاد زاويتي الرأس في المثلثين .

·       الزاوية الثانية نشأت من إتحاد الزاويتين القائمتين لتكونا زاوية مستقيمة .

مثال آخر :

مع الزاوية المقابلة للزاوية القائمة كما يستطيع أن يحدد أن قياسها مساو لـ  90 درجة

الزوايا المتقابلة بالرأس :

تساعد قطع النماذج الطالب على التعرف على هذا النوع من الزوايا والذي سيلاحظ في هذه النوع من الزوايا أن الزوايا أنه يشترط :

1.  أن تكون مشتركة أيضاً في رأس واحد .

2.  أن تكون أضلاعها على الامتداد نفسه .

ومن خلال معرفة الطالب بأن المثلثين متطابقين يستطيع أن يستنتج أن قياسهما هو القياس نفسه كما هو واضح في الشكل السابق ويساوي 90 ْ .

النقطة المهمة هو القدرة على برهنة ذلك بشكل محسوس كما هو تبعا للخطوات التالية :

زاوية 1 + زاوية 2 = 180 ْ  (زاوية مستقيمة )

زاوية 3 + زاوية 4 =180 ْ  (زاوية مستقيمة )

وبالمقارنة بينهما نستنتج أن :

زاوية 2 = زاوية 4

وبالتالي فإن :

كل قطاعين زاويين متقابلين بالرأس متطابقين

مثال آخر :

هل نستطيع أن نكوّن زوايا متقابلة بالرأس بإستخدام تلك المثلثات ؟

مثال 2

الزوايا المتتامه :

من الممكن أن يقدم مفهوم التتام في الزوايا من خلال استخدام نماذج المثلثات قائمة الزاوية  والتي حتما سيكون مجموعي الزاويتين الآخريين في ذات المثلث مساويا للـ 90 ْ .

وبالتالي فإن وضع المثلثات بالصورة الواردة أدنا في الشكل يقدم مفهوم التتام وبإمكان الطالب التأكد من مجموعي الزاويتين المتتامتين من خلال وضع الزاوية القائمة في مثلث

ثالث على تلك الزاويتين ليتأكد بشكل محسوس أن قياسهما هو 90 ْ .

في هذه الحالة نقول إن الزاويتين متتامتان ونقول أيضاً إن الزاوية الأولى هي متممة الزاوية الثانية، وإن الزاوية الثانية هي متممة الزاوية الأولى .

الزاويتان المتتامتان هما الزاويتان اللتان مجموع قياسهما 90 درجة

والشكل التالي يوضح الفكرة

الزوايا المتكاملة :

يستطيع الطالب من خلال وضع مثلثين بشكل متجاور بحيث تكون فيه الزاويتان القائمتان متجاورتان لتصنع زاوية مستقيمة أن يتعرف على مفهوم جديد في الزوايا هو التكامل .

في هذه الحال نقول : إن الزاويتين متكاملتان ونقول أيضاً إن الزاوية الأولى مكملة الزاوية الثانية أو الزاوية الثانية مكملة الزاوية الأولى

وبالتالي فإن :

الزاويتان المتكاملتان  هما الزاويتان اللتان مجموع قياسهما مساو لقياس الزاوية المستقيمة 180 درجة

الزوايا بين متوازيين وقاطع:

يستطيع الطالب وبطريقة ملموسة التعرف على عدد من الزوايا الناتجة عن وضع نماذج المثلثات بين مستقيمين متواوزيين وآخر قاطع لهما كما هو مبين في الشكل التالي

الزوايا المتناظرة :

 تسمى الزوايا 1 ، 4 زاويتان متناظرتان وتسمى الزاويتان 2،3 زاويتان متناظرتان .

الزوايا المتبادلة: تسمى الزاويتين 1 ،2 والزاويتين 2،4 والزاويتين 3،1 زاويتين متبادلتين.

يستطيع الطالب وبشكل ملموس أن يجيب على السؤال التالي :

·       ما علاقة الزوايا المتبادلة ببعضها؟

من خلال الشكل الذي قام بتكوينه مستخدما المثلثات يستنتج الطالب أن :

الزوايا المتناظرة متطابقة

الزوايا المتبادلة متطابقة

مجموع زوايا المثلث :

من خلال قطع المثلثات المستخدمة يستطيع الطالب أن يميّز أن هنالك ثلاث زوايا في كل مثلث . ومن خلال وضع تلك الزوايا جنب إلى جنب يستطيع أن يتوصل وبطريقة محسوسة إلى قياس تلك الزوايا مجتمعه .

يتضح من الشكل السابق أن زوايا المثلث مجتمعة تكوّن زاوية مستقيمة وبالتالي فإن مجموع قياس زوايا المثلث الداخلية يساوي 180 ْ .

 الزوايا الخارجية في المثلث :

في البدء يجب ان يتعرف الطالب على مفهوم الزاوية الخارجية في المثلث وهي زاوية تقع خارج المثلث و هي زاوية أحد أضلاعها هو ضلع المثلث ولكن الضلع الثاني لها هو

امتداد لضلع المثلث الآخر. 

ومن خلال طرح السؤال التالي:

من خلال نماذج المثلثات الموجوده لدى الطالب يستنتج أن قياس الزاوية الخارجية يساوي قياس الزاويتين الداخليتين الغير مجاورتين لها.

وبالتالي فإن :

قياس زاوية القطاع الخارجي في مثلث تساوي مجموع قياس زاويتي القطاع الداخلي غير المجاورة لها .

نظريات هندسية :

نظرية فيثاغورث :

تنص هذه النظرية على أنه في المثلث القائم الزاوية مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الاخرين في المثلث .

ويعد إثبات نظرية فيثاغورث من الدروس الصعبة بسبب تقديمة بصورة مجردة غير محسوسة وبإمكان الطالب التوصل إلى إثبات نظرية فيثاغورث مستخدما نماذج المثلثات

القائمة. بالأضافة إلى قطعة مربعة طول ضلعها مساو لطول الضلع الأصغر في المثلث .

والشكل التالي يوضح الفكرة  بالخطوات :

الخطوة الثانية: مستخدما أربعة مثلثات يقوم الطالب بتكوين مربعا طول ضلعه هو الضلع الأكبر للزاوية القائمة

الخطوة الثالثة: مستخدما قطع مماثلة للتي استخدمها في الخطوتين السابقتين يكوّن الطالب مربعا على الضلع الثالث للمثلث ( الوتر )

من النشاط السابق وبطريقة محسوسة يستنتج الطالب أن :

مساحة المربع المقام على الوتر = مجموع مساحتي المربعين المقامين على الضلعين الآخرين في المثلث .

نظرية طالس :

من الدروس التي يمكن تقديمها بإستخدام المثلثات القائمة إثبات نظرية طالس  " أن المستقيم الواصل بين منتصفي ضلعين في مثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصف طوله ".

نجد المستقيم باللون الأسود هو مستقيم يصل منتصفي ضلعين كما هو واضح بشكل محسوس للطالب كما أنه يوازي الضلع باللون الأخضر من خلال الزوايا القائمة .

من الشكل الذي تم تكوينه يستطيع الطالب أن يستنتج طول  س ص  يساوي نصف طول  أ ب .

ونستطيع  أن نبرهنها بطريقة محسوسة بالصورة التالية .

من الشكل يستنتج الطالب بطريقة محسوسة أن المثلثين أ ب ج  و  ص هـ ج متشابهين :

·       قياس زاوية س = قياس زاوية هـ (نفس الزاوية في المثلث ) يمكن إثبات ذلك من خلال كونهما  متبادلتان .

·       قياس زاوية ج = قياس زاوية ب (نفس الزاوية في المثلث ) يمكن إثبات ذلك من خلال كونهما  متبادلتان .

وبالتالي فالمثلثين متشابهان ونسبة التشابه 1:2

وبالتالي فإن طول س ص يساوي نصف طول أ ب

ماعلاقةالمستقيم ج س بالمستقيم أ ب ؟

من خلال الشكل الذي قام بتكوينه الطالب يستطيع أن يستنتج وبطريقة محسوسة أن طول  ج س يساوي نصف طول أ ب

قوانين الجيوب  :

في حساب المثلثات، قانون الجيب هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع المثلث بجيوب زواياه الداخلية طبقاً للعلاقة

حيث c ،b ،a  هي أطوال أ هي الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة:

وتعد من الدروس التي يمكن أن تقدم بإستخدام المثلثات قائمة الزاوية قوانين الجيوب

: