مقدمة :

القدرة على حل المشكلات هي متطلب أساسي في حياة الفرد ، فكثيراً من المواقف التي تواجهنا في الحياة اليومية هي أساساً مواقف تتطلب حل المشكلات ، ويعتبر حل المشكلة أكثر أشكال السلوك الإنساني تعقيداً وأهمية . ويتعلم الطلاب حل المشكلات ليصبحوا قادرين على اتخاذ القرارات السليمة في حياتهم ، فلو كانت الحياة التي سيواجهها الأفراد ذات طبيعة ثابتة وكان لكل منهم دوراً أو أدواراً محددة يؤدونها ؛ لما كانت حل المشكلات قضية ملحة ، فكل ما على الفرد أن يتعلمه هو تأدية أدواره المحددة له . ولكن الحياة متغيرة ومعقدة ، وكل ما نستطيع أن نتنبأ به هو أنها لن تكون على ما هي عليه الآن ، وفي عالم كهذا تغدوا مقدرة الفرد على التكيف وحل المشكلات أمراً بالغ الأهمية.

 

مفهوم المشكلة في الرياضيات  :

حل المشكلة عملية يستخدم فيها الفرد معلوماته السابقة ومهاراته المكتسبة لتلبية موقف غير عادي يواجهه ، وعليه أن يعيد تنظيم ما تعلمه سابقاً ويطبقه على الموقف الجديد الذي يواجهه. ومهارة حل المشكلات تتطلب القدرة على التحليل والتركيب لعناصر الموقف الذي يواجهه الفرد . وعند الحديث عن المشكلات في الرياضيات سوف نستخدم مصطلح المسألة بدلاً من المشكلة . وأخيراً يجب أن نعلم أن حل المسألة الرياضية من أهم الموضوعات التي شغلت العاملين في مجال تدريس الرياضيات والمهتمين بطرق تدريسها منذ فترة طويلة وحتى وقتنا هذا .

ويمكن القول بأن المشكلة هي : " سؤال محير أو موقف مربك لا يمكن إجابته أو حله عن طريق المعلومات أو المهارات الجاهزة لدى الشخص الذي يواجه هذا السؤال أو الموقف " .

وعلى هذا الأساس فإن موقفاً ما يكون مشكلة لشخص معين عندما تتحقق الشروط الآتية :

1.  أن يكون لدى الشخص هدف واضح يعيه ويرغب في الوصول إليه .

2.  أن يكون طريق الوصول إلى هذا الهدف لا يخلو من عوائق .

3. أن تكون أنماط السلوك الروتينية أو الاستجابات الاعتيادية التي لدى الشخص ليست كافية لتخطي المشكلة .

4. أن يفكر الشخص بترو وتمعن حول الموقف بحيث يصبح متيقظاً له أكثر ، فيحيط به بطريقة أكثر أو أقل دقة .

الصفات السابقة تعني أن موقفاً ما قد يكون مشكلة لشخص ما ، بينما قد لا يكون كذلك بالنسبة لشخص آخر . فقد يمثل السؤال مشكلة لتلميذ الصف الثاني الابتدائي بينما لا يمثل مشكلة لتلميذ الصف السادس الابتدائي ، فالمعرفة العلمية والاهتمام والجدية تختلف من طالب إلى آخر .

وعموماً لكي يمثل السؤال مشكلة لتلميذ ما ؛ فلابد من توافر شروط معينة فيه ومنها :

1)  أن يكون فيه تحدي للتلميذ يدفعه إلى إنجاز وحل هذا السؤال .

2)  أن لا يستطيع التلميذ حل السؤال بالطرق السابقة المعروفة لديه .

3) أن يتطلب السؤال من التلميذ خلفية جيدة من المعلومات والمهارات مع القدرة على تحليل وربط الأفكار وذلك للخروج باستجابات وافتراضات يكون فيها حلاً للمشكلة .

 

 

 

أهمية أُسلوب حل المشكلات في تدريس الرياضيات:

لقد مرت أهداف تدريس الرياضيات بمراحل كثيرة مختلفة ، فقديماً كان الهدف الأساسي لتدريس الرياضيات هو التركيز على الدقة والسرعة في إجراء العمليات الحسابية ، إلا أن التقدم السريع في التكنولوجيا قلل من أهمية هذا الهدف، فالآلة الحاسبة الصغيرة أصبحت تؤدي هذه العمليات بدقة وسرعة أكثر ، لذلك تغيرت أهداف تدريس الرياضيات فأصبحت تركز على الفهم والمعنى بجانب المهارة في العمليات الأساسية ، ومع أن هذا الهدف يعتبر هدفاً أساسياً لتدريس الرياضيات إلا أنه هدف غير كاف ، فهذا الهدف يدعوا إلى تدريس الرياضيات للرياضيات نفسها ، أي يدعو إلى التركيز على فهم الرياضيات كموضوع مستقل مترابط له بنيته الخاصة ومتعته الذاتية ومشكلاته الخاصة ، ومع أن هذا الهدف قد يكون كافياً لإيجاد طبقة من علماء الرياضيات النظرية ؛ إلا انه قد لا يكون مبرراً لإرهاق التلاميذ وكل التلاميذ بموضوعات الرياضيات الكثيرة ، ولكن كما نعلم فإن الهدف الأساسي للتعليم ككل هو إعداد الفرد ليصبح عضواً نافعاً لنفسه ولمجتمعه . والسؤال كيف تسهم الرياضيات في ذلك ؟ إن التطور السريع الذي يميز هذا العصر إنما يحدث كنتيجة لحل المشكلات المستمرة التي تواجه البشرية ، إذاً قد تسهم الرياضيات في إعداد الفرد النافع عن طريق تنمية قدرته على حل مشكلات الحياة أيّاً كان نوعها وزمنها ، وتأتي أهمية حل المشكلات في الرياضيات المدرسية من كونها الهدف الأخير أو النتاج الأخير لعملية التعليم والتعلم، فالمعارف والمهارات والمفاهيم والتعميمات الرياضية بل وكل الموضوعات المدرسية الأخرى ليست هدفاً في حد ذاتها ، إنما هي وسائل وأدوات تساعد الفرد على حل مشكلاته الحقيقة . بالإضافة إلى ذلك فإن حل المشكلات هو الطريق الطبيعي لممارسة التفكير بوجه عام ، فليس هناك رياضيات بدون تفكير وليس هناك تفكير بلا مشكلات .

تركز أهداف تدريس الرياضيات على تطوير الفهم والمعنى والمهارة بجانب العمليات الأساسية وبالتالي فهي تساهم في التطوير العلمي السريع الذي ينتج عنه مشكلات مستمرة في حياة الفرد وبالتالي فقد تُسـهم الرياضيات في إعداد الفرد النافع عن طريق تنمية قدرته على حل المشـكلات سـواء كانت رياضـية أو حياتية .

 ويعتبر الهدف الأساسي من حل المشكلات في الرياضيات هو تدريب التلاميذ على بعض الطرق والأساليب التي تساعدهم على حل المشكلات بوجه عام .

وقد وضعت مجموعة دراسة الرياضيات المدرسية بالولايات المتحدة الأمريكية (SMSG) مجموعة الأهداف التالية لحل المشكلات  :

1)  إمداد الطالب بأنواع مختلفة من الاستراتيجيات المساعدة في حل المشكلات.

2)  تطوير بعض المرونة لدى الطالب في طريقة المعالجة والشروع في حل المشكلات .

3) تطوير بعض الطرق والأساليب للاستفادة من التمثيلات الهندسية في إنتاج معلومات جديدة حول المشكلة  .

4)  تطوير بعض المهارات في جدولة وتنظيم المعلومات المعطاة والمشتقة للاستفادة من ذلك في الحل .

5) تعميق فهم المشكلة لدى الطالب عن طريق تعويده على عمل تقديرات عددية يقوم باعتبارها في ضوء المشكلة المطروحة  .

    

ومما سبق تتضح لنا أهمية أسلوب حل المشكلات فيما يلي من النقاط :

1)  تساعد الطالب على اكتشاف مفاهيم جديدة  .

2)  تعلم الطالب كيفية تطوير وتحويل المفهوم لاستخدامه في حل مشكلة جديدة.

3)  تعود الطالب على التفكير العلمي الناقد  .

4)  تساعد على ترابط وانسجام المفاهيم الرياضية  .

5)  تطور بعض قدرات الطالب العقلية مثل التخيل والتصور والتجريد والتحليل والتركيب  .

6)  تثير حب الاستطلاع والاكتشاف لدى الطالب  .

7)  تنمي قدرة الطالب على تحليل المواقف واتخاذ القرارات  .

 

أنواع المشكلات الرياضية :

      إن المشكلات الرياضية ليست نوعا واحداً ، فهناك العديد من التصنيفات لأنواع المشكلات بحسب درجة تعقيدها أو بحسب الموضوع أو بحسب الهدف منها، وفيما يلي عرض موجز لبعض تلك التقسيمات للمشكلات الرياضية :

أولاً : تصنيف كلوسترمانKloosterman (1988)  :

يقسم "بيتر كلوسترمان" المشكلات الرياضية إلى نوعين رئيسيين :

       النوع الأول : المشكلات الروتينية .

النوع الثاني  : المشكلات غير الروتينية .

وكل نوع منهما ينقسم إلى ثلاثة أنواع ، وفيما يلي توضيح لتلك الأنواع المختلفة:

النوع الأول : المشكلات الروتينية :

سميت مشكلات روتينية لأنها تمثل المشكلات الشائعة في مقررات الرياضيات والتي تمثل غالب مشكلات المقرر في جميع الصفوف الدراسية ، وتنقسم إلى ثلاثة أنواع كما يلي :

أ- مشكلات الخوارزميات المباشرة :

يهدف هذا النوع من المشكلات إلى تدريب الطلاب على الخوارزميات والمهارات الحسابية الأساسية . مثال ذلك :

مثال : أوجد حاصل الضرب فيما يلي : 28 45 =    ؟

 

ب- مشكلات لفظية بسيطة الترجمة :

يهدف هذا النوع من المشكلات إلى تدريب الطلاب على ترجمة المشكلات الرياضية من الصورة اللفظية إلى الصورة العددية الرمزية ، مثال ذلك :

مثال : اصطاد طلال 5 سمكات ، واصطاد خالد 9 سمكات ، كم سمكة اصطاد طلال وخالد معاً ؟

 

ج- مشكلات قصصية معقدة الترجمة :

وتنقسم هذه المشكلات إلى قسمين :

1)   مشكلات قصصية معقدة الترجمة تحل في خطوة واحدة :

سميت مشكلات قصصية معقدة الترجمة لاحتوائها على معلومات مهمة ( في شكل قصة ) ومعلومات غير مهمة زائدة عن حاجة الحل ، أي لا صلة لها بالحل . والهدف من هذا النوع من المشكلات هو تدريب التلاميذ على اختيار المعلومات المهمة التي لها صلة بالحل من القصة وترجمتها إلى الصورة الرياضية الرمزية ، وهذا النوع يحل في خطوة واحدة ، مثال ذلك :

 

مثال : عمل صالح لمدة 6 ساعات في طلاء 40 باباً من أبواب عمارة سكنية . واستغرق خالد 5 ساعات في طلاء 35 باباً . فكم باباً طلوه معا . ( الساعات معلومات غير مهمة وزائدة عن حاجة الحل ) .

 

2)   مشكلات قصصية معقدة الترجمة تحل في عدة خطوات :

سميت مشكلات قصصية معقدة الترجمة لاحتوائها على معلومات مهمة  ومعلومات زائدة عن حاجة الحل ، أي لا صلة لها بالحل . والهدف من هذا النوع من المشكلات هو تدريب التلاميذ على اختيار المعلومات المهمة التي لها صلة بالحل من القصة وترجمتها إلى الصورة الرياضية الرمزية ، وهذا النوع يحل في أكثر من خطوة، مثال ذلك :

 

مثال : مع طارق 30 ريالاً وعمره 10 سنوات ، ومع حامد 20 ريالاً ، ومع زياد 35 ريالاً وعمره 12 سنة . أرادوا جميعا شراء كرة تكلف 120 ريالاً . هل معهم ما يكفي من النقود لشراء الكرة ؟ ما الفرق بين ما معهم وثمن الكرة؟

( المشكلة تحل بأكثر من خطوة وتحتوي معلومات زائدة ) 

 

النوع الثاني : المشكلات غير الروتينية :

       سميت بالمشكلات الغير روتينية لأنها قليلة الذيوع في مقررات الرياضيات ونادراً ما تتعرض لها مقررات الرياضيات في مراحل التعليم المختلفة ، على أهميتها البالغة ، والدور الكبير الذي يمكن أن تقوم به في تحقيق أهداف حل المشكلات الرياضية . وتشمل المشكلات الغير روتينية ثلاث أنواع من المشكلات . وهي كما يلي :

أ- الألغاز الرياضية :

تهدف إلى تنمية مهارة التفكير في حل المشكلة  بأكثر من طريقة بالإضافة إلى مهارة التفكير بعمق.

مثال ذلك :

 

مثال :ما الشكل الهندسي الذي يمكن تصميمه في فناء المدرسة لتوزيع 10 نخلات في خمسة صفوف ، بحيث يحتوي كل صف على أربع نخلات .

 

ب- مشكلات المشاريع :

تهدف إلى تدريب التلاميذ على مهارات التفكير التحليلي ، والتركيبي والناقد ، واتخاذ القرار . مثال ذلك :

 

مثال : على فرض أن هناك ارض مستطيلة الشكل مساحتها الإجمالية 10000 م2 ، يراد تخطيطها كموقف عام للسيارات ، والمطلوب إعداد تخطيطاً للأرض بحيث تستوعب أكبر عدد ممكن من السيارات ، ما مساحة موقف كل سيارة على حدة ؟ وما هو أفضل وضع لطريقة وقوف السيارات لتوفير أكبر مساحة ممكنة ؟. اقترح تصميما عاما لطريقة تخطيط الموقف .

 

ج- المشكلات الإجرائية :

       تهدف إلى تدريب التلاميذ على التفكير المفتوح والاستنتاج المنطقي واستخدام استراتيجيات حل المشكلات . ويتميز هذا النوع  من المشكلات أنها تحل حلا مباشراً باستخدام الحسابات المباشرة ، وأنها تحل بعدة طرق مختلفة . مثال ذلك :

 مثال : يقتضي نظام كرة القدم أن يلعب لكل فريق أحد عشر لاعبا ، كم عدد المصافحات التي تتم بين الاثنين وعشين لاعباً على أرض الملعب ؟ .

 

ثانياً : تصنيف هيلد براندت Hildebrandt (1959):

يقسم هيلدبراندت المشكلات الرياضية إلى أربع مستويات :

1.   المشكلات التي تستخدم مفهوما رياضيا أو تعميما ، ويتناول موقفا لم يتعرض له الفرد سابقا .

2. المشكلات التي تتطلب مقداراً معيناً من التجريب والملاحظة ، وجمع البيانات قبل أن يقتنع الفرد بأن هناك حلاً ممكننا للموقف .

3. المشكلات المرتبطة بالظروف والمواقف التي يتعرض لها الفرد وتتطلب منه إجراء تعديل وتغيير على هذه الظروف .

4.   المشكلات التي تتطلب صياغة فرضيات أو حلول مقترحة تقدم ، وأدلة أو براهين تناقش.

 

ثالثاً :تصنيف أحمد لأنواع المشكلات الرياضية:

أما شكري أحمد فإنه يصنف المشكلات الرياضية في خمس مجموعات هي :

1.   مسائل المفاهيم أو التعاريف .

2.   مسائل المهارات الوصفية .

3.   مشكلات التطبيق .

4.   مشكلات التفكير المفتوح .

5.  مشكلات المواقف .

المجموعة الأولى : مسائل المفاهيم أو التعاريف :

يهدف هذا النوع من المشكلات إلى قياس قدرة التلميذ على التعرف على أو استدعاء حقيقة رياضية أو بديهية أو نظرية أو تعريف معين ، ومن أمثلة هذا النوع من المشكلات الأمثلة التالية :

 

أ ) 2س + 5 = 6 

ب) 2س + 5 > 6

ج) 2س + 5 6 = 0

 

والصورة الأكثر فعالية لمشكلات هذا النوع هي التي تكون على شكل أعط مثالاً على....( مثل: أعط مثالاً على زاويتين متكاملتين ) لأنها تتطلب من التلميذ التفكير بصورة أكثر فاعلية للوصول إلى الحل .

 

المجموعة الثانية : مسائل المهارات الوصفية :

يهدف هذا النوع من المشكلات إلى تدريب الطالب على تطبيق القوانين الرياضية أو إجراء الخطوات الروتينية في حل المشكلات التي تحل بآلية روتينية محددة مثل تمارين المعادلات أو المتراجحات وما شابههما . تتميز هذه المجموعة بإستراتيجية ثابتة للحل تقوم على عدد من الخطوات الروتينية المحددة ، كما أنها تحتاج إلى كثرة المران على حل العديد منها .

 

من أمثلة هذا النوع :

1-          أوجد ميل المستقيم الذي يمر بنقطة الأصل وبالنقطة ( 4, 6 ) .

2-          أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية : 2س + 8 = 5س 16 .

3-          أوجد مساحة متوازي الإضلاع الذي طولا ضلعيه يساويان 8سم ، 16سم .

 

المجموعة الثالثة : مشكلات التطبيق :

إن مشكلات التطبيق تمثل غالبية المشكلات الرياضية التي تضمنتها مقررات الرياضيات بالمراحل التعليمية الثلاث . ويهدف هذا النوع من المشكلات إلى تدريب الطالب على ترجمة المشكلة اللفظية إلى تعبير رمزي ، ومن ثم إيجاد قيمة الرمز أو الرموز المجهولة في التعبير الرمزي .لذا فإن مشكلات التطبيق عادة ما تكون مسائل لفظية تعتمد في حلها على تحويل المشكلة من الصورة اللفظية إلى الصورة الرمزية . مثال ذلك :

 

1-   وزع مبلغ قدره 250 ريالاً على شخصين ، فكان 1/4 حصة الأول يزيد عن حصة الثاني بـ 31 ريالاً ، كم كانت حصة كل منهما ؟

2-   يعمل خالد في محل لبيع العصيرات الطازجة ، إذا كان ثمن كأس العصير الواحد 20 قرشاً ، ما الطرق المختلفة التي يمكن أن يدفع بها ثمن كأس العصير إذا كانت الفئات المستخدمة من العملة هي فئة القرش الواحد ، فئة الخمس قروش ، فئة العشر قروش ؟

 

المجموعة الرابعة : مشكلات التفكير المفتوح :

الهدف من مشكلات التفكير المفتوح هو تشجيع المتعلم على المحاولة والخطأ ، والتقدير والتخمين ، ومن ثم تقديم التبرير المنطقي على سلامة الحل وصحته . يتميز هذا النوع من المشكلات بأن الحل ليس له شكل ثابت ولا يقوم على آلية ثابتة للحل ، فالطالب هو الذي يختار الأسلوب المناسب للحل والذي يختلف عادة من مشكلة إلى أخرى . لذلك فإن مشكلات التفكير المفتوح تحتاج لمستوى عال من التفكير ، ومن الأمثلة عليها :

 

1-   المشكلات التي تبدأ بالعبارات : ( برهن على أن ... ، أثبت أن ... ، أثبت أن لكل ... يوجد ... ) .

2-          إملأ الفراغات بأعداد صحيحة مناسبة :

[ (   ) + ( -5 ) ] [ (   ) (   ) ] = ( + 15 )

 

المجموعة الخامسة : مشكلات المواقف :

الهدف من مشكلات المواقف تدريب المتعلم على تحديد وصياغة المشكلة فهو الذي يحدد بنفسه معطيات المشكلة وأبعادها . ففي هذا النوع يقال للمتعلمين اليكم هذا الموقف التعليمي أو مأزق فكروا كيف الخروج منه أو التغلب على صعوباته . ومن أمثلة هذا النوع :

مثال :على فرض أن هناك ارض مستطيلة الشكل مساحتها الإجمالية 10000 م2 ، يراد تخطيطها كموقف عام للسيارات ، والمطلوب إعداد تخطيطاً للأرض بحيث تستوعب أكبر عدد ممكن من السيارات ، ما مساحة موقف كل سيارة على حدة ؟ وما هو أفضل وضع لطريقة وقوف السيارات لتوفير أكبر مساحة ممكنة ؟ اقترح تصميما عاما لطريقة تخطيط الموقف .

 

ويعتبر تصنيف أحمد من أفضل النماذج في تصنيف المشكلات الرياضية .

العوامل المؤثرة في حل المشكلات الرياضية :

إن عملية حل المشكلات تعتبر عملية معقدة وتحوي كثيراً من العوامل الإدراكية والانفعالية وأيضا بعض من العوامل التي تتفاعل مع بعضها البعض وبصورة معقدة، وطبيعة هذا التفاعل بين هذه العوامل الكثيرة هو ما يجعل عملية حل المشكلات من أعقد النشاطات التي يمارسها الإنسان على الإطلاق ، إلا أن الدراسات النظرية والتجريبية الكثيرة حول هذا الموضوع تمكنت من عزل بعض هذه العوامل ؛ وبالأخص العوامل البارزة أو العوامل الخاضعة للملاحظة والتجريب والتي من أهمها ما يلي :

1- فهم المشكلة :

فهم المشكلة وبالذات المشكلات غير الروتينية يعتبر عاملاً أساسياً للنجاح في الحل، والذي بدونه قد يستحيل الحل . وفهم المشكلة أبعد وأعمق من الإحاطة بها أو فهم عناصرها أو كلماتها أو رموزها على حده ، ففهم المشكلة يتضمن فيما يتضمن وضوح العلاقات بين شروطها أو متغيراتها وفهم المطلوب والمعطيات من الناحية الرياضية . وتشير البحوث الكثيرة حول هذا الموضوع إلى أن أهم الصعوبات التي يواجهها التلاميذ في عملية حل المشكلات أساساً عدم فهم المشكلة ، كما يجدون صعوبة كبيرة في الاحتفاظ بالمشكلة عقلياً أثناء الحل ، بالإضافة إلى ذلك فإن كثيراً من التلاميذ لا يكترثون للنتائج غير المنطقية التي يتوصلون إليها .

 

2- ضعف حصيلة الطالب من الخطط والاستراتيجيات والمقترحات العامة المساعدة في اكتشاف الحل:

تشير البحوث الكثيرة في هذا المجال إلى أهمية بناء أو تكوين خطة أو إستراتيجية لسير الحل قبل البدء في تنفيذ عملية الحل ، فقد وجد أنه قبل تدريس ذلك فإن معظم التلاميذ لا يستعملون أية إستراتيجية معينة أو أي مقترحات أو خطوات عامة توضح سير الحل ، بل أنَّ معظمهم يستعمل طريقة المحاولة والخطأ وبطريقة عشوائية . قد يكون سبب ذلك هو ضعف حصيلتهم من الخطط والاستراتيجيات والمقترحات العامة المساعدة في حل المشكلات مثل : رسم شكل أو مخطط يمثل المشكلة ، أو حل مشكلة أبسط ، أو إنشاء جدول ، أو البحث عن نمط معين أو تجزئ المشكلة إلى مشكلات أبسط ، .... أو غيرها من الاستراتيجيات التي سيأتي الحديث عنها إن شاء الله تعالى في هذا البحث .

 

3- ضعف حصيلة الطالب من المهارات والمعلومات والمفاهيم الأساسية :

وهناك مجموعة بسيطة من القواعد التي يمكن استخدامها أو إتباعها في حل المسائل الرياضية منها :

1- قراءة المسألة .

2- تحديد معطياتها .

3- تحديد المطلوب إيجاده .

4-تحديد العمليات الضرورية التي تستخدم ما يتوافر في المسألة من بيانات لكي يتوصل إلى الحل المطلوب .

5- حل المسألة .

6- مراجعة الحل.

 

ويذكر حسن سلامة  أن ويتلي (1980 م ، Wheatley) قام بوضع إستراتيجية كالتالي :

1-اقرأ المشكلة بدقة.

2-أعد صياغة المشكلة بطريقتك أنت.

3-قسم المشكلة إلى عناصرها وحدد المعطى والمطلوب.

4-حاول الوصول للحل بالتقريب.

5-حاول استخدام طريقة أخرى إذا فشلت في الطريقة الأولى.

6-ابحث عن تنظيم أو قاعدة معينة من خلال ملاحظة شكل النتائج.

7-صمم قائمة بما حصلت عليه من نتائج .

8-نظم النتائج في الجدول .

9-حاول استخدام جميع المعلومات المتاحة لك .

10-       اكتب جملة أو صياغة رياضية للمشكلة.

11-       راجع الحل والمشكلة .

 

4- علاقة العمر مع الاستراتيجيات :

اتضح من خلال الدراسات أن هناك علاقة مميزة عند سن (11-13) سنة يقوم المتعلمون باستخدام استراتيجيات مختلفة عن ذي قبل في حل مشكلات رياضية وتؤكد هذه الدراسات على عوامل مؤثرة في اختيار الأفراد لإستراتجية معينة والنجاح فيها وهي :

1- الخبرة الرياضية السابقة .

2- العمر الزمني للمتعلمين .

3- التكوين العقلي ( محسوس تجريدي ) .

4- التحصيل الرياضي .

 

 

 

مقترحات لتنمية قدرات الطلاب في حل المشكلات:

1)  توضيح المعطيات والعبارات الموجودة في السؤال وتلخيصها بصور مختلفة .

2)  التأكد من فهم الطلاب للخبرات السابقة الموجودة في السؤال .

3)  التأكد من وضوح المطلوب عند الطلاب .

4)  مساعدة الطلاب على اكتساب المهارة في رسم الأشكال أو الجداول التي تعبر عن المسألة .

5)  استخدام الألوان في رسم الأشكال قد يساهم في توضيح المسألة .

6)  محاولة ربط المسألة بحياة الطالب العملية .

7)  جمع الأفكار والوسائل التي تساعد الطلاب على تحليل المشكلة والنظر إليها من زوايا مختلفة .

8)  الاستفادة من أساليب أخرى مماثلة استُخدمت في حل مشكلات مشابهة .

9)  إعطاء بعض التلميحات التي تساعد على تبسيط المشكلة .

10)    تشجيع الطلاب على وضع الفرضيات لحل المسألة بغض النظر عن صوابها أو خطئها ومن ثم مساعدة الطلاب على تبين صحتها من عدمه .

11)    تشجيع الطلاب على حل المسألة بأكثر من طريقة إذا أمكن ذلك .

 

خطوات حل المشكلة :

اقترحت كثير من الدراسات قوائم من الخطوات كنماذج لعملية حل المشكلات ، إلا أن ما اقترحه الرياضي المعروف جورج بوليا George Polya يعتبر من أشهر الاقتراحات وأكثرها رواجاً ، فقلما تجد مقالة أو كتاباً أو بحثاً في موضوع حل المشكلات لا يتعرض لما اقترحه بوليا حول هذا الموضوع . وقد نظمت هذه الاقتراحات على الشكل التالي  :

 

 

أولاً :

يجب أن تفهم المشكلة

فهم المشكلة

       ما المجهول ؟ وما المعطيات ؟ ما الشروط ؟

   هل بالإمكان تحقيق الشروط ؟ هل الشروط كافية لتحديد المجهول ؟ أو غير كافية ؟ أو زائدة ؟ أو متناقضة ؟

       ارسم شكلاً ، استعمل رموزاً مناسبة .

   اعزل الأجزاء المختلفة للشروط . هل تستطيع تسجيل هذه الأجزاء ؟

ثانياً :

أوجد حلقة الوصل بين المعطيات والمجهول . ربما تكون مضطراً لاعتبار مشكلات مساعدة إذا لم تجد حلقة وصل مباشرة . في نهاية الأمر يجب أن تحصل على خطة للحل .

 

إنشاء خطة

   هل رأيت هذه المشكلة من قبل ؟ أو هل رأيت المشكلة نفسها في صيغة مختلفة قليلاً ؟

   هل تعرف مشكلة ذات علاقة ؟ هل تعرف نظرية نافعة ؟

   أنظر إلى المجهول أو حاول أن تفكر في مشكلة مألوفة ولها نفس المجهول أو مجهول مشابه.

   هذه مشكلة ذات علاقة بمشكلتك وحلت من قبل . هل تفيدك ؟ هل تفيدك نتيجتها ؟ هل تفيدك طريقة حلها ؟ هل يجب أن تتعرف على بعض العناصر المساعدة حتى تتمكن من الاستفادة منها ؟

   هل تستطيع إعادة صياغة المشكلة؟ هل تستطيع إعادة صياغتها بشكل مختلف ؟ ارجع إلى التعاريف .

   إذا لم تستطع أن تحل هذه المشكلة فحاول أن تحل أولاً مشكلة ذات علاقة بهذه المشكلة . هل تستطيع أن تتخيل مشكلة سهلة ذات علاقة ؟ مشكلة أعم ؟ مشكلة ذات حالة خاصة ؟ مشكلة مشابهة ؟ هل تستطيع أن حل جزء من المشكلة ؟ احتفظ فقط بجزء من الشروط وأهمل الجزء الآخر ، ما مدى تحديد المجهول الآن ؟ كيف يتغير؟ هل تستطيع اشتقاق شيء مفيد من المعطيات ؟ هل تستطيع التفكير في معطيات أخرى مناسبة لتحديد المجهول؟ هل تستطيع تغيير المجهول أو المعطيات أو كلاهما ؛ إذا كان ذلك ضرورياً لجعل المجهول الجديد والمعطيات الجديدة قريبة من بعضها البعض ؟

   استعملت كل المعطيات ؟ كل الشروط؟ هل اعتبرت كل الاعتبارات أو الأشياء الداخلة في المشكلة ؟

ثالثاً :

نفذ خطتك

تنفيذ الخطة :

   عند تنفيذ خطة الحل تأكد من كل خطوة . هل تستطيع أن ترى بوضوح أن الخطوة صحيحة ، هل تستطيع أن تبرهن أنها صحيحة ؟

 

رابعاً :

افحص الحل الذي حصلت عليه .

النظر إلى الخلف :

  هل تستطيع أن تتأكد من صحة النتيجة؟ هل تستطيع أن تتأكد من صحة تعليلاتك ؟

  هل تستطيع أن تشتق النتيجة بطريقة مختلفة ؟ هل تستطيع أن ترى النتيجة بسهولة ؟

  هل تستطيع استعمال النتيجة أو الطريقة لمشكلات أخرى ؟

 

إن اقتراحات بوليا السابقة قد تكون ذات فائدة في تنظيم عملية تدريس حل المشكلات ، إلا أنها قد لا تضيف أي جديد حول ماهية وطبيعة حل المشكلات .

 

ولعلنا نطبق هذه الخطوات الأربع عملياً من خلال المثال التالي :

مثال :

باع تاجر 486 شريطاً ، فإذا كانت الأشرطة معبأة في كراتين وكل كرتون يحتوي على 6 أشرطة فكم كرتوناً باع ؟

 

(1) فهم المسألة :

من الممكن للمعلم أن يساعد التلاميذ على فهم المسألة عن طريق الأسئلة التي تنبه التلاميذ على المعلومات الواردة في المسألة .

المعلم يسأل :

              يا محمد كم شريطاً باع التاجر ؟

              يا علي كم شريطاً في الكرتون ؟

              يا صالح إذا بعنا كرتوناً واحداً فكم شريطاً بعنا ؟

              يا أحمد ما هو المطلوب من المسألة ؟

إن نصح المعلم للطالب بقراءة المسالة أو التفكير في حلها دون توجيه الأسئلة التي تلقي الضوء على المسألة لا يساعد الطالب في فهم المسألة .

أسئلة المعلم تساعد التلاميذ في فهم المسألة ، والتي تعتبر أول الخطوات المتبعة عند حل المسائل . وهذه الأسئلة تساعد الطلاب في تنمية المقدرة على التركيز على المعلومات المهمة في المسألة .

 

(2) التخطيط لحل المسألة :

يجب على المعلم أن يكون على علم بالاسترتيجيات التي من الممكن أن تؤدي إلى الحل ، كما يجب أن يترك الحرية للطالب في وضع خطط للحل ، كما يجب عليه أن يشجعهم في اقتراح هذه الخطط .

المعلم : كيف يمكن أن نخطط لحل هذه المسألة ؟

محمد : من الممكن أن نحصل على 486 شريطاً أو قطعة صغيرة ، ونضع كل 6 قطع مع بعضها .

المعلم : اقتراح جيد ، يعني أننا نقوم بعمل تجربة .

صالح : من الممكن أن نستعين برسم كرتون به ستة أشكال ، كل شكلٍ منها يمثل شريطاً .

المعلم : فكرة حسنة ، فأنت تريد عمل نموذج للمسألة ، وهذه خطة ممتازة .

علي : في الكرتون الواحد ستة أشرطة ، هذا معناه 60 شريطاً في عشرة كراتين ، وبالتكرار نصل إلى عدد الكراتين .

المعلم : تفكير حسن لأن استخدام نموذج فكرة سليمة لحل بعض المسائل ، وبإمكانك وضع هذه المعلومات في جدول كالتالي :

كرتون

10

20

30

شريط

60

120

180

 

أحمد : من الممكن أن نقسم 486 6 ونحصل على المطلوب .

المعلم : جيد جداً ، في بعض الأحيان نحصل على الجواب عن طريق استخدام العمليات الحسابية مباشرة .

 

إن من أحد عيوب التمارين الحسابية أنها مصممة أساساً لتطبيق قاعدة معروفة ، والهدف من هذه التمارين هو تعزيز هذه القاعدة وليس تدريب التلاميذ على حل المشكلات مما يعيق المعلم في تحقيق الهدف : وهو تنمية القدرة على حل المشكلات وإكساب التلاميذ أساليب حل المشكلات إلا أن هذا لا يمنع المعلم من محاولة إتباع واقتراح بعض طرق الحل الأخرى غير المباشر .

واستراتيجيات حل المشكلات يمكن تصنيفها إلى صنفين :

(1) استراتيجيات عامة .

(2) استراتيجيات مساعدة .

ومن أمثلة الاستراتيجيات العامة ما يلي :

1- استراتيجية بناء جملة رياضية .

2- استراتيجية المحاولة والخطأ .

3- استراتيجية البحث عن نمط .

4- استراتيجية تبسيط المشكلة .

5- استراتيجية العمل للخلف ( أو البدء من النهاية ).

6- استراتيجية التفكير الإبداعي.

ومن أمثلة الاستراتيجيات المساعدة ما يلي :

1- استراتيجية عمل جدول .

2- استراتيجية عمل قوائم منظمة .

3- استراتيجية التمثيل .

4- استراتيجية عمل نموذج .

وسوف نتناول هذه الاستراتيجيات بشيء من التفصيل في الباب القادم إن شاء الله - مع ضرب أمثلة كافية على هذه الاستراتيجيات .

 

(3) حل المسألة :

في هذه المرحلة يتم تنفيذ خطة الحل، ويجب على المعلم أن يشجع التلاميذ في تطبيق الخطط المقترحة سابقاً، وهذه الخطوة في حل المسائل يجب ألا ينظر إليها على أنها حل للمسألة فقط. بل ينظر إليها على أنها خطوة نحو تنفيذ الخطة. فقد يضع بعض التلاميذ خطة للحل إلا أنهم عند حل المسألة يكتشفوا أن خطتهم لا توصلهم إلى الحل، فعند إذن يتوجب الرجوع إلى الخطوة الثانية لوضع خطة جديدة .

 

(4) مراجعة المسألة والحل :

عند تنمية المسألة لدى التلاميذ لا توجد خطوة أهم من هذه الخطوة ، ولأهمية هذه الخطوة جانبان :

الأول : هو مراجعة الخطوة السابقة .

ومن الممكن للمعلم أن يساعد التلاميذ في هذه الخطوة عن طريق الأسئلة.

المعلم : أخبرنا يا محمد كيف فكرت في الحل ؟

       اشرح لنا على السبورة عملك ؟

       ما هي الاستراتيجية التي اتبعتها للحل ؟

       هل الحل يناسب السؤال الموجود في المسألة ؟

       هل الإجابة مقنعة ؟

 

هذه التساؤلات تطلب من التلاميذ النظر في الحل وطريقة التفكير وهي مفيدة للطالب ، حيث يقوم هو بنفسه بتقويم عمله ، كما أن الآخرين الذين يستمعون إلى الطريقة الموصلة للحل من الممكن أيضاً أن يستفيدوا .

 

والجانب الآخر : هو توسيع نطاق المسألة لتوليد مسائل حديثة . وهذا الجانب يجب ألا يهمل في تدريس حل المشكلات .

ومن الممكن أن يقوم المعلم بتوسيع نطاق المسالة ، وذلك بطرح عدد من الأسئلة :

المعلم : لنفرض أن التاجر باع 600 شريط ، هل تستخدم الاستراتيجيات نفسها ؟

       كم يكسب التاجر إذا ربح 4 ريالات في كل شريط ؟

 

ومما يجب التنبيه عليه أنه عند اختيار المسائل لتدريس حل المشكلات فإن على المعلم أن يأخذ بعين الاعتبار الأشياء التالية :

1.  اختيار المسائل التي تتطلب في حلها استخدام أكثر من طريقة .

2.  أن لا تتطلب المسألة في حلها إلى رياضيات عالية .

3.  أن تكون المسائل مشوقة حتى يقبل التلاميذ على التفكير فيها .

4.  مناسبة المسألة لسن التلاميذ .

 

إن مساعدة التلاميذ وحثهم وتشجيعهم على حل المشكلات ينمي في نفوسهم الرغبة في حل المشكلات . كما أن إعطاء المعلم لتلاميذه مسألة أو مشكلة أسبوعياً أصبح من الأساليب التي يستخدمها بعض معلمي الرياضيات لتدريس حل المشكلات .