الأعداد المكعبة

لتكن لدينا متتابعة الأعداد التالية : 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، ......

يمكن أن نستنتج الحد النوني لهذه المتتابعة باستخدام المكعبات المتداخلة ، وذلك كما يلي :

  • نأخذ مكعبات بعدد هذه الأعداد .
  • نقوم بتركيب المكعبات الخاصة بكل عدد على أن يكون الشكل الناتج على صورة مكعب . سنتوصل إلى الأشكال التالية:

 

 

                                                

                                                   1                     4                      9                                           16       

                                            

  • نحدد أبعاد كل مكعب . سنجد أن :

1=1󪻑      8=2󫎾      27=3󫢫     64=4󫶘

وعليه فإنه من الواضح أن حدود هذه المتتابعة هي مكعبات الأعداد : 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .... على الترتيب . حيث :

 

الحد

قيمة الحد

قيمة الحد

1

1

1  = 31

2

8

8  = 32

3

27

27 = 33

4

64

64 = 34

......

......

......

ن

ن3

ن3

 الآن وبعد أن تعرَّفنا على الحد النوني لهذه المتتابعة لنطرح السؤال التالي:

مثال 1 :

لتكن لدينا متتابعة الأعداد التالية : 1 ، 8 ، 27 ، 64 ، ...... . أوجد مجموع هذه المتتابعة ؟

الحل :

أولاً باستخدام اليدويات

المطلوب هو إيجاد مجموع الأعداد المكعبة أو ما يرمز له بالرمز :

نقوم بتمثيل مجموع الأعداد السابقة باستخدام المكعبات المتداخلة كما يلي :

 

 

  تمثيل العدد (1) (مربع واحد) كما يلي :

 

 

  تمثيل المجموع 1 + 8 ( 9 مربعات ) على هيئة مربع ، كما يلي :

 

 

 

  • تمثيل المجموع 1 + 8 + 27 على هيئة مربع ، كما يلي :

 

 

 

 

 

 

 

وهكذا نستنتج أن مجموع ن حد من حدود هذه المتتابعة هو مربع طول ضلعه (1 + 2 + 3 + 4 + .... + ن ) وهو ما نعرفه سابقاً بأنه مجموع الأعداد الطبيعية ، وعليه فإن مجموع هذه الحدود هو مساحة هذا المربع ، أي :

ومنه نحصل على مجموع الأعداد المكعبة وهو :

 

ثانياً رياضياً باستخدام طريقة الفروق :

لإيجاد مجموع الأعداد المكعبة باستخدام طريقة الفروق نعمل الجدول التالي :

                                                        

وبما أن الفرق الثالث ثابت فإن معادلة المجموع من الدرجة الرابعة وتكتب معادلتها بالصورة :

وبالتعويض عن قيمة n في هذه المعادلة بالأعداد :1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 على التوالي نحصل على المعادلات الخمس التالية :       

625a+125b+25c+5d+e

256a+64b+16c+4d+e

81a+27b+9c+3d+e

16a+8b+4c+2d+e

a+b+c+d+e

 

 

369a+61b+9c+d

175a+37b+7c+d

65a+19b+5c+d

15a+7b+3c+d

 

 

194a+24b+2c

110a+18b+2c

50a+12b+2c    

 

 

84a+6b              

60a+6b       

 

 

 24a                  

 

 

وبمقارنة هذه المعادلات بالفروق السابقة نحصل على قيم المعاملات في المعادلة السابقة ، كما يلي :   

 

 

  

وبتعويض هذه القيم في المعادلة السابقة نحصل على التالي :

                                                        

    وهو قانون مجموع الأعداد المكعبة .