تحليل المقادير الجبرية :

 

التحليل معناه كتابة المقدار على صورة ضرب عوامل "تكوين مستطيلات " و أكبر هذه العوامل "أبعاد المستطيلات " هو القاسم المشترك الأكبر للحدود في ذلك المقدار.

  و الشكل التالي يوضح عملية تحليل المقدار 6س -3س2 ، حيث يتم تشكيل مستطيلات من كل حد من حدي المقدار على النحو التالي:

 

 

او النحو التالي:

                 

 

و حيث أن 3س هي أكبر بعد في المستطيلات المتكونة من الحد الأول ، و هي أكبر بعد مشترك من المستطيلات المكونة من الحد الثاني فأن 3س هي القاسم المشترك الأكبر للمقدار و يتم وضعها على المجرى الأفقي حسب إشارتها على النحو التالي :

و عليه فأن 6س 3س2 = 3س(2- س)

 

 

أما المقدار 4س2 + 2س فيمكن تحليله باتباع الخطوات التالية :

أولا : تكوين مستطيلات من 4س2 ، 2س يكون لها أكبر بعد مشترك على النحو التالي :

 

 

وليس   

 

                                      

صحيح أن التحليل معناه بناء مستطيل واحد بكل القطع التي تمثل المقدار الجبري  ولكن بشرط أن يكون المستطيل الناتج بأكبر ضلع ممكن

 

ثانيا : نضع القاسم المشترك الأكبر 2س على المجرى الأفقي من اللوحة كما يلي :

 

 

ثالثا :تم تمثيل المقدار المطلوب تحليله على اللوحة حسب إشارة كل حد. و نظرا لأن كل من حدي المقدار موجب فتم تشكيل مستطيل من المقدار على أن يكون احدى بعدي هذا المستطيل 2س "القاسم المشترك الأكبر" بحدي المقدار على النحو التالي :

 

      4س2 + 2س = 2س(2س+1)

 

 

رابعا : نضع في المجرى الرأسي المقادير المناسبة و يكون المجرى الأفقي و الرأسي هما العاملان للتحليل المطلوب و الشكل التالي يوضح أن تحليل المقدار :

 

 

و عليه فأن       4س2 + 2س = 2س (2س + 1)

المقدار (2س2 2س) يمكن تحليله وفق الخطوات التالية :

1 تكوين مستطيلات من كل حد من حدي المقدار يكون لها أكبر بعد مشترك.

2 بضع القاسم المشترك الأكبر على المجرى الأفقي.

3 نضع الحدود في المربعات حسب إشارة كل منها .

4 ناتج التحليل هو المقادير في المجرى الأفقي و الرأسي.

 

    و الشكل التالي يوضح الخطوات السابقة.

 

 

و بالطريقة ذاتها يمكن تحليل المقدار 3س ص ص2 إلى ص(3س-ص)

و الشكل التالي يوضح ذلك :

 

 

الشكل التالي يوضح تحليل المقدار -4 س2 - 6س إلى -2س (2س+3)

 

 

حيث تم عمل مستطيل من كل حد من حدي المقدار فوجد أن أكبر بعد مشترك هو 2س. و نظرا  لكون كل من حدي المقدار سالب تم وضع القاسم المشترك الأكبر في الاتجاه السالب للمجرى الأفقي ،

و عليه فإن :

             -4س2 -6س = -6س (2س+3) .

 

تحليل المقدار الثلاثي

 

     لتحليل المقادير الثلاثية لابد من دراسة الأوضاع و الصور المختلفة لهذه المقادير ، و في الغالب يمكن تصنيفها في أربع صور هي:

 

                          أ س2 + ب ي +ج

                          أ س2 ب س + ج

                          أ س2 + ب س ج

                          أ س2 ب ج ج 

 

و فيما يلي تفصيلا لكل من هذه الحالات :

 

الصورة الأولى : يتم تمثيل المقدار على البطاقة الجبرية مع ملاحظة أن جميع الحدود تقع في المربع الأول من اللوحة لأن جميع الحدود موجبة. و تكمن الفكرة في تكوين مستطيل من هذه القطع يمثل كل من ضلعيه أحد عوامل التحليل المطلوب.

 

مثال: لتحليل المقدار س2 +5س +6 لاحظ أنه تم اختيار المربع الأول لتمثيل س2 مع أنه يمكن تمثيلها

على المربع الثالث . و هكذا تعامل الحالات المماثلة.

 

 

و عليه فإن : س2 +5س +6 = (س+3)(س+2)

 

الصورة الثانية : تيم فيها وضع س2 في المربع الأول نظرا لأن الحد الثاني سوف يكون بطبيعة الحال في مربع مختلف، و يوضع المقدار ج- في المربع الثالث لأنه موجب.

 

مثال: يوضح الشكل التالي عملية تحليل المقدار س2 5س +6 حيث تكمن الفكرة هنا في وضع ج على هيئة مستطيل. و يكون نتيجة التحليل المقدار الممثل على المحور السيني هو (س-3) مضروبا في المقدار الممثل بالمحور الصادي(س-2).

 

لاحظ توزيع الحد الأوسط بين المربعين الثاني و الرابع بما يتوافق مع ضلعي المستطيل المكون من الحد الثالث في المقدار الثلاثي.

 

 

الصورة الثالثة : يتم فيها تمثيل المقدار ج- إما في المربع الثاني أو في المربع الرابع لأنه سالب و المهم هو تكوين مستطيل ، بينما يتم وضع الحد الأول من المقدار في الربع الأول كالمعتاد.

 

مثال : يوضح الشكل التالي تحليل المقدار س2 +س -6 في حالة وضع 6 في المربع الرابع.

 

 

لاحظ ضرورة استبعاد الصفر ليكون الناتج على النحو التالي :

                 س2 +س-6 = (س+3)(س-2)

 

الصورة الرابعة : يتم فيها تمثيل المقدار ج- إما في المربع الثاني أو المربع الرابع ، و لابد هنا من إجراء عدة محاولات لتكوين المستطيل.

 

مثال: يوضح الشكل التالي عملية تحليل المقدار س2 س -6  في حالة وضع ج- في المربع الثاني :

 

 

و بعد استبعاد الصفر تكون نتيجة التحليل هي :

(س-3)(س+2)

 

تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية :

 بعد أن درس الطالب ضرب المقادير الجبرية و قسمتها لابد أنه أدرك أن القسمة عكس الضرب، و أن :

المقسوم = المقسوم عليه خارج القسمة.

و أن التحليل معناه وضع المقدار في صورة مستطيل بعداه هما ناتج التحليل.

إن التعامل مع معمل الجبر يتيح للطالب فرصة إدراك العديد من المفاهيم و ترجمتها إلى واقع محسوس، و بدون معمل الجبر يجري الطالب العديد من عمليات التحليل دون أن يعرف الهدف منه، فعلى سبيل المثال إذا طلب من التلميذ تحليل المقدار:

                     س2 +س +س ص +ص

 

فإن العديد منهم قد يجدون صعوبة أو قد يتمكن البعض من إجراء التحليل على النحو التالي :

س (س+1) + (س ص+ص)

 

ثم تكرار أخذ العامل المشترك (س+1)

                   (س+1)(س+ص)

 

في حين أن معمل الجبر يجسد هذا التحليل أمام الطالب ، فالمقدار :

                     س2 + س + س ص +ص

 

يمثل كل حد منه قطعة من قطع معمل الجبر ثم يتم وضع الحدود و ترتيبها في مستطيل بعدا هذا المستطيل هما ناتج التحليل على النحو التالي :

 

 

فطول المستطيل = (س+ص)

عرض المستطيل = (س+1)

مساحة المستطيل = (س+1)(س+ص)

                    = س2 +س ص +س+ص

 

و هو المقدار المطلوب تحليله ، و عليه فإن :

 

                     س2 +س ص +س+ص =(س+1)(س+ص)

 

و يزداد الأمر صعوبة بزيادة عدد حدود المقدار المطلوب تحليله ، فالمقدار:

 

                         س2+س ص +3س + 2+ص

 

لا يمكن تحليله بسهولة ، و الطريقة المعتادة في تحليله تبدأ بترتيب الحدود على النحو التالي:

 

                         (س2+3س+2)+(س ص+ص)

 

ثم يتم تحليل كل حد على حده بالصورة التالية:

 

                           (س+1)(س+2) + ص (س+1)

 

هذا إذا كان الطلب لا يزال متذكرا و فاهما تحليل المقدار الثلاثي . ثم يلي تلك الخطوة أجذ عامل مشترك (س+1) على النحو التالي:

 

(س+1) [(س+2) +ص]

ليكون : س2 +3س+2+س ص+ص = (س+1)(س+2+ص)

 

و باستخدام معمل الجبر يمكن تحليل المقدار بطريقة توضح المقصود من التحليل و تبين المستطيل و طوله و عرضه و مساحة القطع المكونة له على النحو التالي :

 

 

حيث المقدار تحليله هو المقدار المطلوب تحليله هو : س2+3 س + 2 + س ص+ص

ثم وضعه في صورة مستطيل  :

 

طول المستطيل   =(س+1)

عرض المستطيل = (س+2+ص)

المساحة           = (س+1) (س+2+ص)

                    = س 2+2 س + س ص + س +  2+ ص

 

و هو المقدار المطلوب تحليله ، و عليه فأن :

 

                        س2 + 3س + 2 + س ص + ص=(س+1)(س+2+ص)

 

هذا بالإضافة إلى أنه يمكن ربط قسمة كثيرة الحدود بالهندسة و تكون النتيجة واضحة : فقسمة المقدار :

 

                   س2 +3 س + س ص + ص + 2 (س+1 )= س+2+ص

 

وفقا لقانون المساحة على فرض أن (س+1) هو عرض المستطيل و أن :

 

                  (س+2+ص) هو طول المستطيل.

 

نشاط:

خذ قطعتين من القطع التي تمثل ص ، و قطعة واحدة من كل من الآتي :

 

                    س ص، ص، س2، الوحدة.

 

استخدم القطع جميعها في تكوين المستطيل.

احسب بعدي هذا المستطيل.

احسب مساحة المستطيل.

هل تمكنت من بناء المستطيل الذي أبعاده مطابقة للمستطيل التالي :

 

 

العرض = (س+1)

الطول = (ص+س+1)

المساحة = (س+1)(ص+س+1)

          = س ص +س2+س+ص+س+1

 

وعليه فإن :     س ص + س2+ س + ص + س + 1= (س+1)(ص+س+1)

 

هل يمكنك بناء مستطيل بأبعاد مختلفة عن المستطيل السابق؟

نشاط:

      بالطريقة نفسها استخدم القطع التالية و كرر النشاط السابق:

 

       2س2، 3س، مكعب الوحدة.

 

تحليل كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة :

 

يمكن استخدام معمل الجبر في تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة و ذلك عن طريق تكوين متوازي مستطيلات شريطة أن يكون أحد أوجهه هو القاسم المشترك الأكبر للحدود، فالمقدار س3+3 س2 يمكن تحليله على النحو التالي : س2(س+3)

 

 

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار :

س3+2س2ص = س2(س+2ص)

 

 

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار : 2س3+4س2 مع ملاحظة ضرورة أخذ القاسم المشترك الأكبر للحدين كأحد أوجه متوازي المستطيلات. فالمقدار الأول يمثل 21 و المقدار الثاني 22 و بالتالي لابد أن يكون أحد أبعاد الوجه المشترك 2 على النحو التالي و بالتالي يكون ناتج التحليل 2س2(س+2) :

 

 

و ليس على النحو التالي س3(2س+4) لعدم توفر القاسم المشترك الأكبر:

 

 

و بالطريقة نفسها يمكن تحليل المقدار : س3 +2س2ص + س2

 

 

ليكون الناتج  : س2 (س+2ص+1)

هل لاحظت أن التحليل عبارة عن متوازي مستطيلات له وجه مشترك  أي مساحة مشتركة مضروبا في بعد.

ففي المثال الأخير كان ناتج التحليل س2الذي يمثل المساحة المشتركة مضروبا في حرف المتوازي .  و قد يكون التحليل في بعض المقادير لا يحوي مساحة مشتركة و لكمه يحوي بعدا مشتركا و في هذه الحالة تكون نتيجة التحليل عبارة عن بعد مشترك مضروبا في المساحة المتبقية من وجه متوازي المستطيلات. فتحليل المقدار :

 

                      س ص23 = س(ص22)

أما المقدار :

س ص2 + س32ص = س (ص22 +س ص) 

فإنه يمكن تمثيله على النحو التالي:

 

تمارين :

استخدم معمل الجبر في تمثيل كل من المقادير التالية :

 

س2ص +2س2

(س+1)3 +(س+1)

س3

س3 +2س2 + 3س

س32ص +س ص

ص32ص+ س ص