الأسس :

يمكن استخدام معمل الجبر في شرح الضرب المتكرر عن طريق بناء أشكال هندسية ، فعلى سبيل المثال يمكن بناء شكل يوضح العدد 3 أو 3' على النحو التالي :

 

 

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب 33 = 3' على النحو التالي :

 

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب333 =3 2

 

و لكن هل يمكن تمثيل 3333 = 3

من الممكن ذلك بتكرار الشكل السابق 3 مرات على النحو التالي :

 

 

و لكن ماذا عن 33333 = 3 5

 

من الممكن تكرار الشكل الأخير و اعتباره شكلا واحدا مكررا 3 مرات.

 

                                                                          

 

إلا أنه لا يمكن تمثيل الأس الأكبر من 3 في المتغيرات ، و هذا كما ذكرنا في المقدمة أحد جوانب القصور في معمل الجبر ، إلا أن موضوع الأسس يمكن تبسيطها بطريقة أخرى حيث يمكن استخدام الضرب المتكرر على النحو التالي :

 

لنفرض أن شخصا ما يعرف سرا معينا و أخبر ثلاثة من أصدقائه بهذا السر في اليوم الأول ، ثم قام كل واحد من هؤلاء الثلاثة بإبلاغ ثلاثة أصدقاء آخرين بذلك السر في اليوم الثاني ، و هؤلاء بدورهم أبلغ كل منهم ثلاث أصدقاء بذلك السر في اليوم الثالث. فكم عدد الأشخاص الذين سمعوا بهذا السر في اليوم الرابع؟

 

هذه الحادثة يمكن تمثيلها على النحو التالي :

 

    

 

ضع عددا من المكعبات يمثل الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الأول.

هل هو 3 مكعبات ؟ 31 =3'

ضع عددا من المكعبات يمثل عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الثاني.

هل هو 9 مكعبات ؟ 33 =23

ضع عددا من المكعبات يمثل عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الثالث.

هل هو 27 مكعبا ؟ 333= 33

و عليه فإن عدد الأشخاص الذين علموا بالسر في اليوم الرابع هو 3333 = 81 شخصا .

 

و لنفرض أن ذلك الشخص أخبر 10 أشخاص في اليوم الأول و الذين بدورهم قام كل منهم بإخبار 10 آخرين و هكذا ، فكم عدد الذين علموا بالسر في اليوم الرابع؟

        10101010= 10000 شخصا.