المتطابقات :

 

المتطابقة هي مساواة بين عبارتين رياضيتين متكافئتين. و يمكن استخدام معمل الجبر كأجاة مساعدة في توضيح المتطابقة الأساسية و كيفية الحصول عليها. و نستخدم في ذلك البطاقة الجبرية مع القطع التي تمثل المجاهيل(س،ص).

 

مربع مجموع حدين:

 

(س+ص)2= س2 + 2س ص +ص2

 

بما أن (س+ص)2 = (س+ص)(س+ص) ، فإنه يمكن الحصول على مفكوك (س+ص)2 بإتمام علية الضرب السابقة . و الخطوات المتبعة هي:

 

1 نمثل (س+ص) المقدار الأول في الجزء الموجب في المجرى الأفقي.

2 نمثل (س+ص) المقدار الثاني في الجزء الموجب في المجرى الرأسي.

3 نكون المستطيل "المربع في هذه الحالة " الذي يمثل (س+ص) ضلعين فيه.

4 نقرأ الناتج على اللوحة فيكون هو مفكوك (س+ص)2 المطلوب

         الشكل التالي يوضح مفكوك (س+ص)2

و الناتج هو س2 +2س ص +ص

 

 

مربع الفرق بين حدين :

 

(س-ص)2 = س-2س ص+ص2

يمكن تمثيل هذه المتطابقة باستخدام معمل الجبر كالتالي:

 

1 نمثل (س-ص) في الجزء الموجب من المجرى الأفقي كل حد حسب إشارته.

2 نمثل (س-ص)الثانية في الجزء الموجب من المجرى الرأسي كل حد حسب إشارته.

3 نكون المستطيلات التي تمثل هذه القطع أضلاعها "في الربع الأول مربع طول ضلعه س، في الربع الثاني مربع طول ضلعه  ص و في الربع الرابع مستطيل مساحته س ص".

4 نقرأ النتائج على اللوحة فيكون هو مفكوك (س-ص)2 المطلوب ايجاده .

 

 

و هنا يجب ملاحظة جمع المقادير الموجبة في المربعين الأول و الثالث و كذلك المقادير السالبة في المربعين الثاني و الرابع ليكون :

                     (س-ص)2= س2-2س ص +ص2

جداء مجموع حدين بالفرق بينهما:

 

                    (س+ص)(س-ص)

 

     و تسمى متطابقة الفرق بين مربعين . و يمكن شرح هذه المتطابقة على النحو التالي:

1 نمثل (س+ص) في الجزء الموجب من المجرى الأفقي من البطاقة الجبرية.

2 نمثل (س-ص) و ذلك بوضع (س) في الجزء الموجب من المجرى الرأسي ، (ص) في الجزء السالب من المجرى الرأسي لأن إشارتهما سالبة.

3 نكون المستطيلات التي تمثل هذه القطع أضلاع لها.

4 نستبعد الصفر ثم نقرأ الناتج على اللوحة فيكون هو المطلوب.

 

 

و عليه فإن (س+ص) (س-ص) = س22

 

و هناك طريقة أخرى  لتمثيل س22 تتلخص في اعتبار ضلع المربع المكون من القطع مجتمعة س ، أما ضلع المربع الصغير الذي كان في السابق يمثل الوحدة فيمكن اعتباره ص ، و عليه فإن المساحة الإجمالية =س2 ، و مساحة المربع الصغير تساوي ص2. و الشكل التالي يوضح الفكرة:

 

 

و استقطاع المربع الصغير من المربع المكون من القطع مجتمعة يمثل (س22

 

 

و عند وضع المستطيل الأيمن إلى أسفل الشكل السابق فإن ضلع المربع الأساسي الذي كان س يزداد بمقدار عرض المستطيل الذي يمثل ص فيصبح لدينا مستطيل جديد أحد بعديه (س+ص) و البعد الآخر (س-ص) ، و هكذا فإن :

         س2-ص2 = (س-ص)(س+ص) و الشكل التالي يوضح الفكرة :

 

 

و في هذا المثال تضح قوة معمل الجبر في ايضاح العديد من المفاهيم الجبرية إضافة إلى إمكانية تغيير مسميات القطع حسب الحاجة، فالقطعة التي تمثل س مثلا ليس بالضرورة أن تكون القطع  الصغيرة، بل من الممكن أن تكون هي القطع الكبيرة، أو حتى مجموع القطعتين معا كما يأتي لاحقا، و بالطريقة نفسها فإنه يمكن اعتبار المربع الذي يمثل الوحدة يساوي أي مقدار، و في هذا المثال اعتبرناه يساوي ص2

أما بالنسبة لمربع الفرق بين حدين (س-ص)2

 

فيمكن تمثيله بطريقة مشابهة لمربع مجموع حدين حيث يكون س في هذه الحالة ضلع المربع المكون من القطع مجتمعة ، و بالتالي مساحته س2، أما المربع الصغير فطول ضلعه ص و بالتالي مساحته ص2  ، و المطلوب حساب قيمة مساحة المربع الآخر الذي طول ضلعه (س-ص) ، أي المطلوب حسابه هو (س-ص) 2.

 

 لاشك أن هذه المساحة تساوي مساحة المربع المكون من القطع مجتمعة الأساسي مطروحا منها مساحة المستطيلين الإجمالية تساوي 2ص(س-ص) .أما مساحة المربع الصغير فهي ص2لأن طول ضلع المربع الصغير يساوي ص.

و الشكل التالي يمثل س2:

 

 

و عليه فإن :

 

 

أي أن (س-ص)2 = س2-2ص(س-ص) ص 2

                    = س2-2س ص+2ص22

                    = س2-2س ص+ص2

 

مكعب مجموع حدين :

                    (س+ص)2

إذا توفرت لديك قطع معمل الجبر س2،ص2 و ملحقاتها فإنه بإمكانك بناء مكعب كبير باستخدام المكعب س2 و المكعب ص2و ثلاثة من القطع التي تمثل س2ص و ثلاثة من القطع التي تمثل س ص2 على النحو التالي :

 

 

و في حالة عدم توفر القطع يمكنك استخدام المكعبات المتداخلة وفق الخطوات التالية :

 - قم ببناء مكعب أبعاده 222 و سمه ص2 أي أن حرفه ص=2 و حجمه ص2، وضعه على النحو المبين يمين الشكل

- قم ببناء 3 متوازي المستطيلات أبعاد كل منها 123 و حجم كل منها س ص2و حجمها الإجمالي 3س ص2 و ضعها على النحو المبين  في الجزء الثاني من الشكل .

- قم ببناء 3 متوازي المستطيلات  أبعاد كل منها 111 و سمه س3أي أن حرفه س و ضعه على النحو المبين في الجزء الرابع من الشكل.

- استخدم القطع التي قمت ببنائها مجتمعة و حاول بناء مكعب كبير على النحو المبين على يسار الشكل أعلاه :

 

لابد أنك لاحظت أن حرف المكعب الجديد المكون من القطع مجتمعة هو (س+ص) ، أي أن حجمه (س+ص)2 ، و هذا الحجم يساوي مجموع حجوم القطع المتكون منها و هي : س2،ص2، 3س ص2 اي أن (س+ص)2 =س2+ 3س2ص+3س ص23.

 

و بالطريقة نفسها يمكن إيجاد قيمة كل من : (س+1)3،(س+2)3،(س+3)3

 

الفرق بين مكعبين س3

 

يمكن تمثيل متطابقة الفرق بين مكعبين بطريقة مشابهة لمكعب مجموع حدين ، حيث يمثل س في هذه الحالة ضلع المكعب الكبير، المكون من القطع مجتمعة ، و بالتالي يكون حجم المكعب الكلي هو س3.

و هنا يكون حجم المكعب الصغير هو ص3 و الشكل التالي يوضح الفكرة .

 

 

بعد طرح( استبعاد) المكعب الصغير الذي حجمه ص3 من حجم الشكل المتكون من القطع مجتمعة الذي حجمه س3و يكون الشكل أعلاه تمثيل للمتطابقة س33

و هذا الحجم عبارة عن مجموع حجوم القطع المكونة له و هذه القطع حجومها كالتالي : القطعة السفلية و حجمها سس(س-ص) أي س2 (س-ص)

و متوازي المستطيلات الكبير الذي أبعاده صص(س-ص) أي ص2(س-ص)

و متوازي المستطيلات الصغير و أبعاده صص(س-ص) أي ص2 (س-ص) و هذا معناه أن :

س33 = س2(س-ص)+س ص(س-ص) +ص2(س-ص)

            = (س-ص)(س2 +س ص +ص2)

و في حالة عدم توفر قطع معمل الجبر يكون مكعب الوحدة الذي أبعاده 111 =ص2

أما طول ضلع المكعب المكون من القطع مجتمعة فهو س و بالتالي تكون س= 3 و حجم متوازي المستطيلات الذي أبعاده 221 و حجمه (س-ص)2ص  و حجم متوازي المستطيلات الذي أبعاده 112 و حجمه (س-ص)ص2 حيث ص في هذه الحالة =1 و لكن س= 3 و بالتالي فإن (س-ص) تساوي 2 و سوف تكون النتيجة مطابقة أي أن س33 =(س-ص)(س2+س ص+س2)

 

مجموع مكعب حدين س33 :

 

لتمثيل هذه المتطابقة استخدم القطع نفسها التي استخدمتها لبناء (س+ص)3 بالإضافة إلى المكعب الصغير الذي طول ضلعه ص و حجمه ص3 ، إلا أن المكعب المكون من القطع مجتمعة يكون طول ضلعه س، و عليه فإن حجم هذا المكعب س3 ، و بالتالي فإن الحجم الإجمالي للشكل هو تمثيل للمتطابقة س33 .

الشكل التالي يوضح الفكرة في حالة توفر قطع معمل الجبر و ملحقاتها.

 

 

أما في حالة استخدام المكعبات المتداخلة فيكون حجم المكعب الذي أبعاده 111 هو ص3 و بعد المكعب المتكون من القطع مجتمعة هو س3 .

و يكون الحجم الإجمالي للشكل عبارة عن مجموع حجوم القطع المكونة له و هذه القطع هي القطعة التي تحتوي على المكعب الصغير الذي حجمه ص3 في أعلاها ، و حجمها عبارة عن (س+ص) الذي يمثل الارتفاع ، حيث هذا الارتفاع عبارة عن ارتفاع المكعب المبني من القطع مجتمعة س بالإضافة إلى ضلع المكعب الصغير ص.

أما بعدا هذه القطعة فهما ص،ص و بالتالي يكون حجم هذه القطعة هو :

(س+ص)صص= (س+ص) ص2

بالإضافة إلى هذه القطع هناك القطعة الخلفية و أبعادها س،س ،(س-ص) ، و حجمها يساويس2(س-ص)

و القطعة الأخيرة هي القطعة الأمامية و أبعادها هي ص ، س ، (س-ص) و بالتالي يكون حجمها هو س ص (س-ص).

و مجموع هذه الحجوم يمثل س33 أي أن

 

س33       =ص2(س+ص) +س2(س-ص)+س ص (س-ص)

 

                  = ص2 (س+ص) +س(س-ص)+[س + ص]

 

                  = (س+ص) [ ص2+س(س-ص)]

 

                  = (س+ص) [ ص22-س ص]

 

                 = (س+ص) [ س2-س ص+ ص2]

مكعب الفرق بين حدين :

 

(س-ص)2 .

إذا توفرت لديك قطع معمل الجبر فإنه بإمكانك بناء مكعب كبير باستخدام تلك القطع بطريقة مشابهة لمتطابقة مكعب مجموع حدين إلا أن الفرق في هذه المرة هو اعتبار حرف المكعب الكبير المبني من القطع مجتمعة هو س و بالتالي حجم المكعب الكبير س3، و الشكل التالي يوضح الفكرة:  

 

 

و في حالة عدم توفرها يمكنك استخدام المكعبات المتداخلة وفق الخطوات التالية :

 

1 قم ببناء مكعب أبعاده 222 وضعه على النحو المبين أعلاه.

2 قم ببناء 3 متوازي مستطيلات أبعاد كل منها 122 كما هو واضح في الرسم أعلاه .

3 قم بناء 3 متوازي مستطيلات أبعاد كل منها 112 وضعها على النحو النبين أعلاه.

4 قم ببناء مكعب أبعاده 111 و سمه ص3 أي أن حرفه يساوي ص، و ضعه على النحو المبين أعلاه.

5 استخدم القطع التي قمت ببنائها مجتمعة و حاول بناء مكعب كبير على النحو المبين على يسار الشكل أعلاه.

 

لابد أنك لاحظت أن حرف المكعب الجديد هو (س)، أي أن حجمه (س)2، في حين أن المطلوب إيجاده هو حجم المكعب الذي طول ضلعه هو (س-ص)، و هذا الحجم يساوي حجم المكعب الأساسي س3 مطروحا منه حجوم القطع المتبقية ، أي أن :

 

(س-ص)3   = س3-  3(س-ص)2 ص-3(س-ص)ص2 ص3

 

               = س3 -3ص (س-ص) [ (س-ص) + ص] - ص3

 

= س3 3س ص (س-ص) ص3

 

              = س32 ص + 3س ص ص3