قسمة المقادير الجبرية :

  سوف يتم التركيز في هذا الباب على ما يلي :

قسمة وحيدات  حد على وحدة حد .

قسمة كثيرة حدود على وحيدة حد.

تجسيد محسوس للقاسم المشترك الأكبر و الأعداد الصحيحة .

إيجاد القاسم المشترك الأكبر لكثيرة حدود.

تحليل كثيرة الحدود .

تحليل مقدار ثلاثي .

و يمكن الاستفادة من قسمة الأعداد الصحيحة  و توسيعها لتشمل القسمة على المتغيرات حيث يكون خارج القسمة هو بعد المستطيل المكون من المقسوم عليه.

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر نحتاج إلى تكوين مستطيلات  ذات بعد مشترك . و أكبر بعد مشترك لهذه المستطيلات هو القاسم المشترك الأكبر الذي يستخدم كثيرا في التحليل.

و في حالة كون المشترك الأكبر للمقدارين هو الواحد فإن المقدارين يعتبران أوليان فيما بينهما.

التحليل هو خطوة بعد القسمة  ، فالتحليل معناه وضع المقدار في صورة مستطيلات و ناتج التحليل هو أكبر بعد في هذه المستطيلات ، و هذا أصعب من القسمة لأنه قد يكون هناك أكثر من إجابة.

نشاط :

أكتب عمليتي القسمة الناتجة من ضرب -3 ×2 = -6

      لقد تعلمنا في المرحلة الابتدائية أن كل عملية ضرب ينتج عبها عمليتي قسمة.

فالمقدار -3 × 2 = -6 ينتج عنه عملية القسمة التالية :

                         -6 ÷ -3= 2

                         -6 ÷ +2 = -3

و الشكل التالي يمثل عملية قسمة -6 ÷ 2 حيث تم تمثيل المقسوم عليه الذي هو +2 على المجرى الأفقي في اتجاه الموجب ، ثم قمنا بتمثيل المقسوم في المربع الرابع لأنه سالب و عملنا منه مستطيلا على أن يكون المقسوم عليه أبعد بعدي هذا المستطيل على النحو التالي :

و يمكن الاستفادة من ذلك في قسمة المقادير الجبرية بصورة عامة.

فلتمثيل عملية قسمة أي مقدار نتبع الخطوات التالية:

1 – نمثل المقسوم عليه على المحور الأفقي الموجب أو السالب حسب إشارته.

2 – نبني مستطيلا في المقدار المكون للمقسوم على أن يكون أحد بعدي هذا المستطيل مساويا للمقسوم عليه.

3 – الضلع الآخر من هذا المستطيل يمثل ناتج القسمة.

و الشكل التالي يوضح قسمة -6س2 ÷ 2س

و الشكل التالي يمثل قسمة 6س ص ÷ (-3ص) و ناتج القسمة هو -2س.

الشكل التالي يوضح عملية قسمة -2س ص ÷ -2ص

و الشكل التالي يوضح عملية قسمة -3س ÷ -س

حيث يتم تمثيل المقسوم عليه في المجرى الأفقي السالب و يتم تشكيل مستطيل من المقسوم شريطة أن تكون أحد بعديه مساويا للمقسوم عليه و بالتالي يكون خارج القسمة هو +3 .

و الشكل التالي يوضح عملية قسمة س ص ÷ -ص

و الشكل التالي يوضح عملية قسمة (6س² + 3س)÷ 2س

حيث يتم تمثيل المقدار المقسوم في المربع الأول و تكوين مستطيل من المقسوم أحد بعديه يساوي المقسوم عليه (2س).

          و عليه فإن خارج القسمة يساوي 3س + 2

          و هكذا نرى العلاقة بين الضرب و القسمة حيث إن عملية ضرب

                  (3س + 2)(2س) = 6س² + 4س

و المقدار الناتج من قسمة المقدار (6س² + 4س) ÷ 2س = 3س + 2

و الشكل التالي يمثل عملية قسمة 6س ص ÷ (-3ص) و ناتج القسمة هو -2س

قسمة كثيرة الحدود :

          لإيجاد خارج قسمة (2س²– 6س) ÷ 2س نتبع الخطوات التالية :

1 – تمثيل المقسوم عليه على المحور الأفقي حسب إشارته.

2 – نمثل كل حد من حدود المقسوم حسب إشارته فنضع 2س² في الربع الأول و سالب 6س في الربع 

الرابع.

3 – نبني مستطيلا من المقسوم شريطة أن يكون أحد بعديه هو المقسوم عليه . و يكون خارج القسمة هو الضلع الآخر للمستطيل.

و في هذه الحالة فإن خارج القسمة يساوي (س-3).

و تمثل العملية السابقة عملية تحليل المقدار (2س²– 6س) حيث يتم بناء مستطيل من هذا المقدار فيكون أحد بعديه 2س و البعد الآخر (س-3).

و الشكل التالي يمثل قسمة المقدار (2س² -6س)(س - 3).

و عليه فأن خارج القسمة في هذه الحالة هو 2س .

و الشكل التالي يوضح عملية قسمة مقدار (-2س²– 6س)÷(+2س)

حيث يتم وضع 3س في المجرى الأفقي ، و تكوين مستطيل من المقسوم على أن يكون أحد بعدي هذا المستطيل هو المقسوم عليه 2س على النحو التالي:

و عليه فخارج القسمة يساوي (س-3) .