توزيع الضرب على الجمع :

درس الطالب في المرحلة الابتدائية قانون توزيع الضرب على الجمع بالصورة التالية :

512=5(2+10) =52510

 

و في المرحلة المتوسطة درس القانون على الصورة التالية :

أ (ب+ج) = أ ب + أ ج

ثم في مرحلة لاحقة يدرس الطالب تحليل المقدار التالي :

 

     أ ب +أ ج

عن طريق أخذ العامل المشترك الأكبر بين الحدين على النحو التالي :

 

    أ(ب + ج)

 

ثم تعميم أخذ العامل المشترك الأكبر للحدود بصفة عامة ،كل هذه المراحل درسها الطالب دراسة مجردة دون أن يلمسها و يراها ماثلة أمامه في الوقت الذي يوضح معمل الجبر هذا المفهوم بصورة محسة ملموسة علة النحو التالي :

 

 

1 وضع قطعتين 15 إلى جوار بعضهما مع القطعة 55 .

2 مساحة الجزء الأول من المستطيل يساوي 25 و الجزء الأخير غير المظلل مساحته تساوي 55

3 المستطيل بعده الأول 5 و البعد الثاني (2+5) و عليه فإن مساحته تساوي 5(2+5) = 5(7) = 35

و هي المساحة نفسها المكونة من مجموع مساحتي الجزئين (52) + (55) و عليه فإن 5(2+5) = 52 + 55

 

و بعد التعامل مع المكعبات التي تمثل الثوابت مع المتغيرات لشرح مفهوم توزيع الضرب على الجمع كخطوة بينية قبل استخدام الرموز. الشكل الذي يمثل مستطيلين صغيرين مساحتيهما معا تساوي 2س +س ص ، و عند ضم القطع إلى بعضها نحصل على مستطيل بعداه هما س (2+ص) و مساحته الإجمالية تساوي 2س + س ص ، و هي المساحة نفسها قبل ضم القطع ، و عليه فإن :

 

    س(2+ص)= 2س +س ص

 

   و الخطوة الثانية تمثل استخدام الرموز مباشرة.

 

 

و هكذا يتعلم الطالب توزيع الضرب على الجمع ، و التحليل إلى عوامل في الوقت ذاته و بطريقة لها معنى لدى الطالب.

الشكل التالي يوضح عملية الضرب التالية : 3(س+6) حيث تم تمثيل (س+6) ثلاث مرات على النحو التالي :

 

 

و بضم القطع إلى جوار بعضها نحصل على مستطيل أحد بعديه يساوي 3 و البعد الآخر يساوي (س +6) مما يعني أن 3 (س+ 6) = 3س +18

 

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب 2(4-3)

 

 

و في هذه الحالة يجب استبعاد الصفر حتى يكون

2(4-3) = 24 -23 = 8-6  =2

و الشكل التالي يوضح عملية ضرب -4(1-3) :

حيث تم تمثيل 4 في المجرى الأفقي السالب و تمثيل +1 في المجرى الرأسي الموجب ، -3 في المجرى الرأسي السالب و بعد استبعاد الصفر نحصل على موجب 8

و بعد استبعاد الصفر يكون الناتج =+4

و بالطريقة نفسها يمكن تمثيل عملية ضرب 4 (5 +(-3)):

حيث يتم تكوين المستطيلات المكونة للحدود المضروبة ثم يستبعد الصفر ليكون الناتج +8 .

و بالطريقة نفسها يمكن تمثيل حاصل ضرب 4 (1+(-3))