المتسـلسـلات

                     إن مفهوم المتتابعة يلعب دورا كبيرا في البناء الرياضي والتطبيقات ومجموع حدود المتتابعة يسمى متسلسلة

                  إذا أردنا اكتشاف مجموع أي عدد من حدود المتتالية المتتالية من متسلسلة الأعداد الطبيعية : ( 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...,....,.... ابتدأ من الواحد ، يشكل عدد مثلثى على النحو التالي : نقوم ببناء الأعداد المتتالية بالمكعبات المتداخلة

    فنلاحظ أن العدد المثلث الثالث فهو مثلث فيه ثلاث مكعبات  على كل جانب ، وهذا العدد ناتج ( 1 + 2 + 3 = 6 ) وينتج ذلك كما يلي:

                          1 = 1

                        +2 = 3

                       + 3 = 6

                       + 4 = 10

                       + 5 = 15

                       + 6 = 21

                 وهكذا نستطيع الانتقال من عدد الى العدد الذي يليه وبملاحظة العمليات التالية :

                            1 + 2 = 3 

 بجمهما مرتين ينتج مستطيل 2 في 3 كما يلي

  أي  2 × 3 ÷ 2 = 3

 وبالطريقة نفسها يكون    1 + 2 +3 =  6 

 أي 3× 4 ÷ 2 = 6

 بجمهما مرتين ينتج مستطيل 3 في 4 كما يلي

وبالطريقة نفسها مجموع      1 + 2+ 3 + 4 +5=15  

 بجمهما مرتين ينتج مستطيل 5 في 6 كما يلي

 أي 5 × 6 ÷ 2 = 15

                             ولايجاد عدد المكعبات نقوم بناء شكل مماثل لكل شكل  ويلاحظ أن عدد مكعبات العدد الثاني تساوي نصف مكعبات المستطيل

              - اذن ناتج الجمع = ( العدد ( العدد + 1 ) ÷ 2

            لذا فان  1 +2 + .....+......+.......+ ن = نصف حاصل الضرب ن ( ن + 1 )

                 مج  ن =   ن (ن +1 ) / 2

                 تطبيــق :

               المطلوب معرفة جمع : 1 + 2 + 3 + .....+ 56 = ؟  مباشرة

        56 ضرب 57 قسمة 2

                نشــاط :  يمكن شرح السابق بالمربعات الملونة

                 مجموع من واحد الى العشرة

                            مجموع الاعــداد الفرديــة مج(  2ن - 1)

                     المتتالية :    1، 3 ، 5 ، 7 ، ...,....,......, تسمى الاعداد الفردية الممثلة بالشكل  التالي:

              ولتوضيح ذلك بشكل محسوس بالنسبة للاعداد الفردية عند جمعها نقول ما يلي:

                (1 ) مربع إذا أضفنا إليه العدد (3 ) فيكون الناتج :

                                 1 = 1

                              + 3 = 4 = 2 × 2

                            4  + 5 = 9 = 3 × 3

                            9  + 7 = 16 = 4 × 4

                             16 + 9 = 25 = 5 × 5

              ولتوضيح ذلك بالرسم  تبين لنا :

                      1 + 3 = 4      مربع طول ضلعه ( 2)

                      4 + 5 = 9      مربع طول ضلعه ( 3 )

              وتوضيح العمليات : -

                            1 + 3 = 4    يعني 2 × 2 = 4

                        1+ 3 + 5 = 9    يعني 3 × 3 = 9

                   1 +3 + 5 + 7 = 16 يعني 4 × 4 = 16

              اذن مجموع الحدين الأول والثاني مربع مساحته (4) أى 2 × 2 = (2 )2

               ومجموع الثلاث حدود الفردية الأولى مربع مساحته (9) أى  3 × 3 = ( 3) 2 

                اذن مجموع عدد من الأعداد الفردية المتتالية عددها ن والمبدوئة بالواحد تساوي مربع مساحته ( ن × ن )

                اذن 1 + 3 +5 + .....+......+......+ (2 ن -1 ) = (ن)2

                                  الأعــداد الزوجيـــة مج ( 2  ن  )

                   لايجاد مجموع حدود المتوالية  المكونة الاعداد الزوجية سينتج  القانون  باستخدام المكعبات المتداخلة تكوين الاعداد:

               -  نقوم بنناء الاعداد الزوجية باستخدام المكعبات 

                  2 ، 4 ، 6 ، ..... وهكذا يستطيع ان تحدد أى حد من حدود هذه المتوالية 

                   لان 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، ........، 2 ن كما هوموضح بالرسم 

             - عند جمع أي عددين زوجيين يكون الناتج عددا زوجيا كما سبق وأوضحنا

            - أذن عند جمع الحدين الأول والثاني فى الاعداد الزوجية ، فلا بد أن يكون الناتج مستطيلا لانه يمثل عدد زوجي كذلك 0فنجد ان  2 + 4  =  6 

                 يمثل مستطيل مكون من (6) مكعبات تمثل مساحة هذا  المستطيل حيث بعداه ( 2 ، 3 )

              - عند جمع الثلاث حدود أولالى كذلك  : 2 + 4 + 6 + = 12 يمثــل مستطيل بعداه  3 ، 4 مساحته 12 أي  3 × 4

               - وجمع الاربع حدود : 2 + 4 + 6 + 8 = 20 مستطيل بعداه :

                   ( 4 ، 5 ) مساحته ( 20 ) مكون من ( 20 ) مكعب كما في الشكل التالي:

     وبالطريقة نفسها نجمع الخمسة الأعداد الزوجية الأولى على النحو التالي:

                 مجموع عدد (ن) من الحدود فى هذه المتسلسلة من الاعداد يساوى  : ن(ن + 1 )

                    2 + 4 + 6 + 8 + ......... + 2ن = ن(ن+1 ) حيث أن 

                          اذن    مجموع 2ن = ن ( ن + 1 )

     وهناك طريقة أخرى لتمثيل الأعداد الزوجية على النحو التالي :

   ويكون المجموع كما في الشكل التالي :

                        مجموع مربعــات الأعــداد الصحيحة (   مج  ن2)

                    الأعداد : (1 )2 ، ( 2)2 ،  ( 3)2 ، (4)2 ,..........

                    1 ،  4 ، 9 ، 16 ، .........

                   تمثل عبارة عن متوالية من مربعات الاعداد 

                  فاذا أردنا معرفة مجموع حدود هذه المتوالية فاننا نستنتج قانون التسلسلة           ن2

               - ونقوم بتوضيح الاعداد ( 1) 2 بواسطة المكعب 

              - والعدد الآخر (2 )2 ممثل فى المساحة ( 2× 2) المكعب سطحه يمثل  المربع والعدد الثالث ممثل فى المساحة ( 3 × 3 )

              - لجمع الاعداد الثلاثة الأمربعة الأولى مع بعضها ينتج الشكل التالي :

              - في الخطوة الثالثة نقوم بعمل ثلاثة أشكال من الشكل الناتج  على النحو التالي :

                ويتم تجميعها لتكوينالشكل التالي

 والجزء العلوي

يمكن قصه الى نصفين متساويين حتى يكتمل الموشور وتكون أبعاده 3 وهو عدد الحدود  ن و 4 وهو العدد الدي يلي عدد الحدود ( ن+1) و3ونصف

نصف حاصل ضربهما أي ن( ن+1)/2

 والشكل التالي يوضح المقصود:

 حيث يكتمل الموشور بإضافة النص الآخر الى الشكل العلوي ويصبح حجمه ( مجموع المكعبات ) يساوي حاصل ضرب أبعاده الثلاثة

                ن في (ن + 1 )في (ن + 1/2)

وبتبسط حاصل الضرب نجد أن الحجم الكلي للموشور= ن(ن+1)(2ن+1) /2   

ولكون الموشور مكون من ثلاثة قطع متطابقة يكون مجموع   (1)2 + ( 2 )2 + ( 3 )2 يساوي ثلث حجم الموشور وبصورة عامة فإن:

               (1)2 + ( 2 )2 + ( 3 )2+ 000000 + ن 2 = ن(ن+1)(2ن+1 ) / 6

                                                      مكعبــات الأعــداد (  ن3  )

              مكعبات الأعداد : 1  ، 2  ، 3  ,......,.......

               تمثل :   1 ، 8 ، 27 ، .......,......, متوالية عددين تمثل مكعبات الاعداد

  الشكل التالي يمثل المكعبات الثلاثة الأولى :

                  ولايجاد مجموع مكعبات الاعداد أي استنتاج قانون المتسلسلة

                  مج  ن3  = (1)3 + (2 )3 + (3 )3 +.........+ ن3

                  باستخدام المكعبات المتداخلة :

               - بيعاد ترتيب المكعب الدي طول حرفه ( 2 ) على النحو التالي

               - يضاف (1)3 + (2 )3 = ( 1+ 8 ) = 9  بعد إعدة الترتيب ينتج لدينا الشكل التالي

        وهو مربع طول ضلعه = 1+2 

 المكعب الذي طول ضلعه  (3) مكعبات يعاد ترتيبه لثلاث طبقات على النحو التالي

  ويتم إضافته للشك السابق على النحو التالي:

               - بعد اضافة (3 )3 يصبح المقدار :  (1) + (2 ) + (3 ) =    9 +27 = 36

              - وتكرار العملية  :

                 (1 ) + (2) + (3) + (4) = 36 +64= 100

                 نجد انه ينتج عبارة عن مكعب ابعاده (ن × ن × 1 )

                فاذا نظرنا الى السطح للشكل يكون عبارة عن مربع مساحته ( ن)2 بعد ترتيبه

                - يكون طول الضلع ممثل في حالة جمع الاربع حدود الاولى

                  1+ 2 + 3 +4  = 10

               - اذن مساحة المربع تكون = (10)2 = 100

                  بما أن    ن = 1 +2 + 3 +4 +.....+ ن = مربع المقدار ( ن(ن+1 ) /2 )

                 تصبح مساحة المربع ( ن)2 =  ن(ن+1 )/2

                   مج(ن)3 = مج( 1+2 +3 +....+.... + ن )2

                                                  ايجـاد ( مج مج  ن)

            نشــاط :

                الشكل التالي تم بناءه بعدد من المكعبات فيلاحظ   ن :

                             الشكل             عدد المكعبات

                                1                     1

                                2                     3

                                3                     6

                              4                     10

                               5                    15

                               6                    21

                               7                    28

                               ..                     ..    وهكذا 

               نجد إنها تمثل مجموعة الاعداد الطبيعية (    ن = ن(ن +1) /2

              إذا أردنا معرفة الحد الرابع =  4 ×5 /2 = 10

             وكذلك الحد العاشر يصبح =  10 × 11 /2 = 55

             ولكن إذا أردنا معرفة مجموع هذه المتسلسلة أي استنتاج قاعدة لها أى ايجاد قانون مج مج ن وهو مجموع المجموع

                مج مج ن =  مج ن(ن+1) /2 =   مج ( ن2+ن) /2  =  نصف ( مج ن2 +  نصف مج  ن )

                               =    نصف  [ ن(ن+1)(2ن+1) /6 +  ن (ن+1) /2 ] وبتبسيط الكسرين بتوحيد المقاميين نحصل على

                               =   نصف   [ ن(ن+1)(2ن+1) + 3ن (ن+1) ] /6

                               =   نصف   [ ن(ن+1) (2ن+1+3) ]/6

                               =   نصف   [ ن(ن(ن+1)(2ن+4)] /6

                               =    نصف    × 2 × ن(ن+1)(ن+2) /6

                               =      ن(ن+1)(ن+2) /6

                                         

                نشـــاط:

                   الشكل المرسوم  مكون من عدة طبقات 

                - كم عدد من المكعباتاللازمة لبناء مثل هذا الشكل ؟

                - كيف التوصل الى معرفة عدد المكعبات فى احد الأدوار ؟

                - كيف يمكن ايجاد قاعدة تحدد عدد المكعبات فى هذا الجسم 

                 نلاحظ ان الدور الواحد يمثل مستطيل مساحته  ( 1 × 2 )

                 والدور الذي يليه يمثل مستطيل مساحته : (2 × 3 )

                والدور الذي يليه يمثل مستطيل مساحته : ( 3 × 4 ) وهكذا

                اذن المطلوب معرفة مجموع الطبقات أي:

                   مج 1×2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ......... + ن ( ن+ 1 )

                   مج ن ( ن + 1 )         المطلوب 

                   =   مج ( ن2 + ن )

                   =    مج ن2 + مج  ن

                   =     ن ( ن+1 )( 2ن+1 ) /6 +  ن(ن+1 )  /2

                   =    [ ن ( ن+1 ) ( 2ن+1 ) + 3ن(ن+1 ) ] /6

                   =    ن ( ن + 1)( 2ن +1 + 3 ) /6

                   =    ن ( ن +1 ) ( 2ن + 4 ) /6

                   =     2ن ( ن+1 ) (ن + 2 ) /6

                   =     ن (ن +1) (ن +2 ) /3

                نشــاط:

                    الشكل التالي مكون من عدد من الطبقات :

               - ما عدد المكعبات اللازمة لبناء مثل هذا الشكل ؟

                - كم مكعب نحتاج لإضافة بعض الأدوار الطبقات السفلية ؟

                - ما  مجموع المكعبات فى العشرة طبقات الأولى ؟

                - ما القاعدة العامة التي تحدد عدد المكعبات في الطبقة الاولى ؟

                  من الشكل نلاحظ بان الطبقة العلوية مكونة من عدد  المكعبات (4)

                  والدور الدي أسفل منه مكون من ( 16 ) مكعب 

                  أي أن الأول يمثل   : 2تربيع

                  والدور الثاني يمثل : 4تربيع  

                   الثالث يمثل 6 تربيع

 الأعداد نمطها 2 تربيع 4 تربيع 6 تربيع 8تربيع ........

الحد العام ( 2ن  ) تربيع

فالحد العاشر تكون  فيه ن=10  وعدد المكعبات في الدور العاشر =20 تربيع = 400 مكعب 

نشــاط:

                  لاحظ  الشكل المرسوم فى الصفحة التالية 

               - هل يمكنا معرفة كم مكعب نحتاج لرسم الحد العاشر 

               - ما هى القاعدة العامة التي تحدد عدد المكعبات اللازمة لبناء الحد الثاني ؟

                                    تدريــب :

                لاحظ الشكل المرسوم

 وأرسم الحد الذي يليه مباشرة  

               - كم مربعا نحتاج لبناء الحد العاشر من هذا  الشكل ؟

               - ما القاعدة العامة التى تحدد عدد المكعبات لبناء الحد النوني للشكل ؟