ب) تطبيقات باستخدام برمجية الحد النوني من الدرجة الثانية 3 عوامل :

ويمكن الوصول إلى هذه البرمجية بالرجوع إلى موقع التعليم الإلكتروني لتطوير تدريس الرياضيات للدكتور عباس غندورة (www.aghandoura.com) ، وذلك في القسم الخاص بتعليم الرياضيات للموهوبين كما في الشكل التالي:

تستخدم هذه البرمجية لإيجاد الحد النوني للمتتابعات ذات الفرق الثاني ، حيث تعرض البرمجية متتابعةً موضحةً فيها ثبات الفروق عند الفرق الثاني ،

وتطلب من المستخدم  تجريب قيم تحدد مضاعفات للمتغير n ، بالإضافة إلى قيم للحد الثابت حتى الوصول إلى الحد النوني المطلوب.

علماً بأن الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية  

ملاحظة/ هذا النوع من المتتابعات الذي تحاكيه البرمجية يعتمد على كل العوامل الثلاثة : معامل

ومعامل n و الحد الثابت.

متتابعة (1):

المتتابعة التالية : 8 ، 28 ، 60 ، 104، 160، 228، .....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثاني كما في الشكل:

وكما هو واضح في الشكل ، ولأن الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

تعتمد هذه البرمجية على استخدام ثلاثة خطوط أعداد في الأسفل حيث يشير الخط العلوي لقيم a (معامل) ، والخط الثاني يشير إلى قيم b (معامل n)، والخط الثالث يشير إلى الحد الثابت.

وللحصول على قيم a ، b ، c مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 12

2a=12

a=6

قيمة الحد الأول في الفرق الأول:   

3a+b = 20

3 (6) + b =20

18+b = 20

b = 2

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة:

a+b+c=8

6+2+c=8

c=0

وبتعويض قيم a,b,c في خطوط الأعداد أسفل البرمجية نصل إلى الحل.

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو :

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (2):

- لدينا المتتابعة التالية: 16، 22، 32، 46، 64، 86، ....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثاني كما في الشكل:

 وللحصول على قيم a ، b ، c مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 4

2a=4

a=2

قيمة الحد الأول في الفرق الأول:   

3a+b = 6

3 (2) + b= 6

6+ b = 6

b= 0

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة:

a+b+c=16

2+0+c= 16

c=14

والآن نعوض عن قيم a,b,c  في البرمجية لنحصل على الحد النوني

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو:

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (3):

المتتابعة التالية : 17 ، 35 ، 71 ، 125، 197، 287، .....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثاني كما في الشكل:

وللحصول على قيم a ، b ، c مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 18

2a=18

a=9

قيمة الحد الأول في الفرق الأول:   

3a+b = 18

3 (9) + b= 18

27+ b =18

b = 18 - 27

b= -9

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة:

a+b+c=17

9+(-9)+c= 17

c=17

والآن نعوض عن قيم a,b,c  في البرمجية لنحصل على الحد النوني

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو:

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (4):

المتتابعة التالية : 7 ، 14 ، 27 ، 46، 71، 102، .....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثاني كما في الشكل:

وللحصول على قيم a ، b ، c مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 6

2a=6

a=3

قيمة الحد الأول في الفرق الأول:   

3a+b =7

3 (3) + b= 7

9+ b = 7

b= -2

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة:

a+ b+ c = 7

3+(-2)+c= 7

c= 7 -1

c=6

والآن نعوض عن قيم a,b,c  في البرمجية لنحصل على الحد النوني

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو:

* لنجرب مسألةً أخرى بالضغط على المستطيل أعلى البرمجية:

متتابعة (5):

المتتابعة التالية :19، 50 ، 99 ، 166، 251، 354، .....

تم وضعها في البرمجية وتوضيح ثبات الفروق في الحد الثاني كما في الشكل:

وللحصول على قيم a ، b ، c مباشرةً للتعويض بها في البرمجية والحصول على الحد النوني نستخدم صيغ الفرق الثابت ، وحدود متتابعة الفروق .

بما ان الحد النوني للمتتابعة ذات الفرق الثاني معادلة الدرجة الثانية

نعوض في قيم جدول الفروق

قيمة الفرق الثابت في المسألة المعطاة في البرمجية هي 18

2a=18

a=9

قيمة الحد الأول في الفرق الأول:   

3a+b = 31

3 (9) + b=31

27+ b =31

b=4

نعوض بقيمة الحد الأول من المتتابعة:

a+b+c= 19

9+4+c= 19

c = 19 - 13

c=6

والآن نعوض عن قيم a,b,c  في البرمجية لنحصل على الحد النوني

إذن الحد النوني للمتتابعة المعطاة هو: