قسمة الكسور

عملية قسمة الكسور هي عملية عكسية لعملية الضرب وتساعد قطع النماذج في تسهيل وتبسيط فكرة قسمة الكسور وتقريبها من الأذهان ونقصد بعملية القسمة هنا هي عملية تقسيم للكسر، وحيث أن عملية القسمة هي عملية عكسية للضرب لذلك من عملية الضرب الواحدة يمكننا الحصول على عمليتين للقسمة:

فمثلاً:ـ  من عملية الضرب   م  ×  ن  =  ل 

نعرف م، على أنه حاصل قسمة ل على ن ونكتب :  م  =  ل  ÷  ن

كذلك نعرف ن، على أنه حاصل قسمة ل على م ونكتب :  ن  =  ل  ÷  م

 حاصل الضرب

ينتج عنها عمليتي قسمة وهي كالتالي

وسنوضح عملية القسمة من خلال المراحل التالية:

1- قسمة كسر على عدد:

تتم عملية القسمة هنا بأن نقسم الكسر على عدد أي نجزأ الكسر إلى أجزاء حسب العدد المطلوب ونرى النتيجة في كل مرة فمثلاً

مثال(1):

عند قسمة  فإننا نجزأ قطعة الثلث إلى جزأين كل جزء هو السدس وتكون النتيجة كالتالي

مثال(2):

لإيجاد حاصل قسمة  في هذه الحالة نقوم بتجزئة قطعة الثلاثة أرباع إلى ثلاثة أجزاء كل جزء هو الربع وتكون النتيجة على النحو التالي

2- قسمة عدد على كسر:

أيضاً هنا ستكون عملية القسمة إما أن نجزأ العدد إلى أجزاء على حسب الكسر أو أن نسأل كم كسر يوجد في العدد ؟ وللإجابة على هذا السؤال نناقش الأمثلة التالية

مثال(1):

لإيجاد حاصل قسمة     نسأل كم ثلث يوجد في الوحدتين ؟

وعندما نجزئ الوحدتين إلى أثلاث نجد أنها تحتوي على ستة أثلاث ونوضح العملية أكثر من خلال الشكل التالي

- قسمة كسر على كسر:

 لإيجاد قسمة كسر على كسر آخر سنقوم بتجزئة الكسر الأول إلى أجزاء على حسب الكسر الثاني أو نسأل كم جزء من الكسر الثاني يوجد في الكسر الأول ؟

وللإجابة على هذا السؤال سنناقش الأمثلة التالية

مثال(1):

لإيجاد حاصل قسمة  في هذه الحالة نجزأ النصف إلى أسداس أو نسأل كم سدس يوجد في النصف ؟ للإجابة على هذا السؤال نجزأ النصف إلى أسداس ونرى أنه مكون من ثلاثة أسداس فتكون النتيجة هي ثلاثة و نوضح ذلك بالشكل التالي

مثال(2):

حاصل قسمة  نسأل كم سدس يوجد في الثلث ؟

مثال(3):

حاصل قسمة  نسأل كم ثلث يوجد في النصف ؟

4- قسمة عدد كسري على كسر :

كذلك هنا عند قسمة عدد كسري على كسر نسأل نفس السؤال وهو كم كسر يوجد في العدد الكسري ؟ ونوضح الفكرة أكثر بعرض الأمثلة التالية:

مثال(1):

حاصل قسمة   أي كم ثلث يوجد في الواحد وثلث ؟

سنجزأ الوحدة والثلث إلى أثلاث فنجد أنها مكونة من أربعة أثلاث وتكون النتيجة على الصورة التالية

مثال(2):

حاصل قسمة  أي كم سدس يوجد في الواحد وثلث ؟

سنجزأ الوحدة والثلث إلى أسداس فنجد أنها مكونة من ثمانية أسداس وتكون النتيجة

على الصورة التالية

قسمة عدد كسري على عدد:

 عند قسمة عدد كسري على عدد صحيح سنقوم بتجزيء العدد الكسري إلى أجزاء حسب العدد الصحيح ونوضح الفكرة أكثر من خلال

مثال:

 حاصل قسمة    سنقوم بتقسيم الواحد إلى قسمين فيصبح نصف كذلك نقسم الثلث إلى قسمين فيصبح سدس والنصف هو عبارة عن ثلاثة أسداس مع السدس تكون أربعة أسداس والتي بدورها تكون ثلثين ونوضح ذلك بالشكل التالي

6- قسمة عدد على عدد كسري:

عند قسمة عدد صحيح على عدد كسري أيضاً نسأل نفس السؤال وهو كم عدد الأجزاء الموجودة في العدد الأول من أجزاء العدد الثاني ؟

مثال:

 عند قسمة  نسأل كم جزء يوجد في العدد الصحيح من أجزاء العدد الكسري ؟

وللإجابة على ذلك سنحتاج إلى توضيح أكثر، نعلم أن العدد واحد يتكون من نصفين والعدد واحد ونصف يتكون من ثلاثة أنصاف فكم نصف من العدد الكسري موجودة في العدد الصحيح ؟ نجد أنه يوجد نصفان من ثلاثة أنصاف، بالتالي تكون الإجابة هي إثنان من ثلاثة أي ثلثان .

كذلك عند قسمة  نسأل كم جزء يوجد في العدد الصحيح من أجزاء العدد الكسري؟

نوضح الإجابة، العدد إثنان مكون من أربعة أنصاف والعدد الكسري واحد ونصف مكون من ثلاثة أنصاف، فكم نصف من أنصاف العدد الكسري تكون العدد الصحيح؟ نجد أنه يوجد أربعة أنصاف من الثلاثة وبالتالي تكون الإجابة أربعة من ثلاثة أي أربعة أثلاث، والشكل التالي يوضح ذلك

وبعد ذلك نستطيع أن نكتب   

و بعد ذلك نستطيع أن نكتب  

مثال(2):

عند قسمة   نسأل كم جزء يوجد في الأول من أجزاء الثاني ؟

من خلال السابق نلاحظ أننا عندما نقسم الكسر الأول على الكسر الثاني فإننا نسأل نفس السؤال كم جزأ من الكسر الثاني يوجد في الكسر الأول ؟

وتكون الإجابة على ذلك بأن نقوم بتجزيء الكسر الأول إلى أجزأ من الكسر الثاني ويكون ذلك باستخدام قطع النماذج.

ومع تكرار الأمثلة تثبت الفكرة في ذهن الطالب ثم بعد ذلك نحاول تعميمها على جميع الكسور.

وعموماً:- لإيجاد حاصل القسمة نتبع ما يلي

نفرض أن              

وحسب تعريف القسمة فإن  

وبضرب الطرفين في   نحصل على 

وبتجميع الضرب    

وحيث أن حاصل ضرب

فإن                 

نستنتج            

تقويم: تمم عمليات القسمة التالية وأكمل الفراغ بالعدد المناسب

ملاحظه

فيما سبق اعتبرنا أن القطعة السداسية هي الوحدة و أوجدنا منها كل الكسور السابقة ولكن هذا لا يمنع أن نعتبر أن الوحدة هي قطعتين سداسية بالتالي سيكون وضع الكسور على الصورة التالية