ضرب الكسور

سنوجه الطالب هنا إلى أن عملية ضرب الكسور تختلف عن عملية الضرب العادي في بعض الأحيان والسبب في ذلك يرجع إلى أنواع الكسور حيث أن هناك كسور حقيقية وكسور غير حقيقية وكلاً يختلف عن الآخر في طريقة ضربه وسنتعرف من خلال قطع النماذج على طرق الضرب المختلفة والخاصة بالكسور وأيها تشبه الضرب العادي وأيها يختلف.

1- ضرب عدد صحيح بكسر:

هذه الحالة لا تختلف عن عملية الضرب العادي حيث يمكننا هنا اعتبار عملية الضرب هي عملية الجمع المكرر كما أنه توجد طريقة أخرى لحساب هذه العملية تختص بقطع النماذج وسنرى ما هي النتيجة في الحالتين.

مثال:

لإيجاد حاصل ضرب سنكرر النصف ثلاث مرات كالتالي

كما يمكن حسابها بطريقة أخرى بأن نأخذ ثلاثة وحدات من القطع السداسية الشكل ثم نأخذ النصف من كل وحدة من الوحدات الثلاثة و نرى كيف تكون النتيجة كالتالي

نلاحظ أنه في المرتين السابقتين حصلنا على نفس النتيجة، وكأننا عندما ضربنا النصف في ثلاثة اعتبرنا أن مقام العدد 3 هو العدد 1 وبعد ذلك ضربنا البسط في البسط وبقي المقام كما هو ومع تكرار الأمثلة نستطيع أن نعمم النتيجة كالتالي

ضرب عدد صحيح بعدد كسري:

أيضاً هنا عملية الضرب لا تختلف عن سابقتها حيث يمكننا عند ضرب عدد صحيح بعدد كسري أن نكرر العدد الكسري بعدد مرات العدد الصحيح ونرى

مثال(1): لضرب العدد

نكرر العدد الكسري ثلاثة مرات كالتالي

لاحظنا في هذا المثال أنه عند تكرار العدد الكسري ثلاث مرات كانت النتيجة ثلاث وحدات كاملة أما الثلث مكرر ثلاث مرات كون الوحدة بذلك كانت النتيجة 4 وحدات كاملة.

مثال(2):

حاصل ضرب سنكرر العدد الكسري مرتين ونرى النتيجة

كما نلاحظ هنا أن تكرار العدد الكسري مرتين كون وحدتين والسدس مع السدس كون سدسين ( ثلث ) فكانت النتيجة هي اثنان وثلث.

مثال(3):

حاصل الضرب

نكرر العدد الكسري مرتين فنحصل على

نلاحظ هنا بعد تكرار العدد الكسري حصلنا على أربع وحدات كاملة والثلث مع الثلث يكون ثلثان وتكون النتيجة في النهاية أربعة وثلثان.

ولكي نكون قاعدة لهذه العملية يجب أن نحول العدد الكسري إلى كسر وذلك بضرب العدد في المقام ومن ثم إضافة البسط للناتج فنحصل على كسر غير حقيقي بالتالي نعود لقاعدة الفقرة السابقة وهي أن نضرب البسط في البسط ويبقى المقام

ضرب كسر بكسر:

عند ضرب كسر بكسر نلاحظ أنه لا يمكننا أن نكرر أحدها بدلالة الآخر لذلك سنحاول التجربة بقطع النماذج ضرب كسر في كسر ونرى النتيجة للتوصل إلى قاعدة وستكون الطريقة هنا بأن نأخذ الجزء المطلوب من الكسر ونوضح ذلك من خلال التالي

مثال:

نلاحظ في المرة الأولى عندما ضربنا الثلث في النصف أننا أخذنا النصف ثم أخذنا من النصف الثلث فتبقى لدينا السدس، كما أنه في المرة الثالثة عند ضرب النصف في الثلث أخذنا الثلث ثم أخذنا من الثلث جزء النصف فتبقى لدينا السدس وفي الحالتين النتيجة نفسها.

أما في المرة الثانية ضربنا النصف في نصف أي أخذنا النصف ثم أخذنا من النصف جزء النصف تبقى لدينا الربع،وفي المرة الأخيرة ضربنا النصف في الثلثين وفي هذه المرة أخذنا ثلثين ثم أخذنا جزء النصف من كل ثلث من الثلثين فتبقى لدينا السدسين أي الثلث.وفي كل مرة من المرات السابقة نلاحظ وكأننا نضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام فنستنتج

ضرب كسر بعدد كسري:

أيضاً هنا عملية الضرب لن نتمكن فيها من تكرار أحدها بدلالة الآخر لذلك ستكون عملية الضرب هنا تشبه عملية الضرب في الفقرة السابقة حيث أننا سنأخذ الجزء المطلوب ( الكسر ) من العدد الكسري المعطى

مثال(1):

عند ضرب

نأخذ ثلاثة وحدات ونصف الوحدة ثم نأخذ من كل وحدة الثلث ونأخذ الثلث من نصف الوحدة أي السدس فيتكون لدينا الشكل التالي

فعندما أخذنا الثلث من كل وحدة وثلث من النصف قمنا بتجميعها فأصبحت سبعة أسداس كونا منها وحدة كاملة وسدس فكانت النتيجة واحد وسدس.

مثال(2):

عند ضرب

نتبع نفس الطريقة السابقة بأن نأخذ ثلاث وحدات وثلث الوحدة ثم نأخذ من كل وحدة النصف ونأخذ من ثلث الوحدة أيضاً نصفها أي السدس ولنرى ما هي النتيجة كما في الشكل التالي

وجدنا أن النتيجة هي نصف ونصف وسدس وعند تجميعها أصبحت وحدة وسدس. نلاحظ في المثالين السابقين أننا حولنا العدد الكسري إلى كسر غير حقيقي ثم ضربنا البسط في البسط والمقام في المقام وبذلك مع تكرار الأمثلة نعمم النتيجة كالتالي

ضرب عدد كسري بعدد كسري:

سنرى أيضاً هنا أن عملية ضرب عدد كسري بعدد كسري ستكون عبارة عن تكرار ولكن يختلف بعض الشيء عن السابق.

فعندما نضرب العدد في هذه الحالة نأخذ وحدتان ونصف الوحدة ونكررها مرتان ونصف المرة ثم نرى ماذا تكون النتيجة و سنوضح ذلك من خلال المثال التالي

مثال(1):

لإيجاد حاصل ضرب نكرر العدد إثنان ونصف مرتان ثم نأخذ نصف العدد إثنان ونصف النصف( الربع ).

سنوضح ذلك أكثر، سنأخذ وحدتان ونصف الوحدة للمرة الأولى ثم نأخذها ( وحدتان ونصف الوحدة ) للمرة الثانية وبعد ذلك نأخذ نصف الوحدتان والنصف وهي وحدة واحدة وربع، ثم نقوم بتجميع القطع كلها فنرى أنها تكون في النهاية 6 وحدات كاملة وربع الوحدة ويكون ذلك واضحاً في الشكل التالي

مثال(2):

لإيجاد حاصل ضرب يمكننا إيجاد النتيجة بطريقتين مختلفتين،

أولاً : سنكرر العدد واحد وثلث مرتان ثم نأخذ نصف الوحدة الواحدة ونصف الثلث وهو ( السدس ) بعد التكرار سنحصل على ثلاث وحدات وثلث وتكون عملية التكرار واضحة من خلال الشكل التالي

ثانياً: يمكننا إيجاد عملية الضرب بالعكس أي يمكننا تكرار العدد اثنان ونصف مرة واحدة وثلث المرة بذلك سنأخذ ثلث الوحدة الأولى وثلث الوحدة الثانية وثلث النصف ( السدس ) وعند تجميعها سنحصل على نفس النتيجة السابقة ونفس الشكل السابق.

ومع تكرار الأمثلة يستطيع الطالب أن يستوعب الفكرة ثم نعمم لديه الفكرة حسابياً حيث يمكنه أن يحول كل عدد كسري الى كسر غير حقيقي ثم يطبق القاعدة السابقة في الضرب بضرب البسط في البسط و المقام في المقام.

وبعد ذلك ومن الفقرات الخمسة السابقة في ضرب الكسور وجدنا أننا نصل إلى نتيجة واحدة مهما اختلف شكل الكسر سواء كنا نضرب كسر في عدد أو كسر في كسر أو عدد كسري في كسر أو.....ووجدنا أننا نضرب البسط بالبسط والمقام بالمقام ومن ثم نخلص إلى نتيجة عامة في ضرب الكسور و كي نكتشف قاعدة عامة للضرب سنتتبع الخطوات التالية

نفرض أن ،