( 3 – 6 ) تحليل ثلاثي الحدود

محتويات التعلم :

                المهارات :

تحليل ثلاثي الحدود على الصورة : أ س² + ب س + جـ إلى عاملين باستخدام القطع الجبرية.

الزمن اللازم للتدريس :

        حصتان .

الأهداف :

1- أن يحلل الطالب ثلاثي الحدود على الصورة : أ س² + ب س + جـ  إلى عاملين باستخدام القطع الجبرية .

الوسائل التعليمية :

القطع الجبرية – البطاقة الجبرية – السبورة – جهاز عرض الشفافيات – ورق العمل الخاص بالدرس .

التهيئة :

يذكِّر المعلم في بداية هذا الدرس الطلاب بمفهوم وحيدة الحد ومفهوم كثيرة الحدود لينطلق بذلك إلى توضيح الصورة العامة لثلاثي الحدود .

العرض :

        يكتب المعلم على لوح السبورة الصورة العامة لثلاثي الحدود :

أ س² + ب س + جـ ثم يطلب من الطلاب إعطاء أمثلة لكثيرات حدود من هذا النوع ثم بعد ذلك ينتقل إلى دراسة طريقة تحليل ثلاثي الحدود :

إن تحليل ثلاثي الحدود على الصورة أ س² + ب س + جـ باستخدام البطاقة والقطع الجبرية لا يخلو من أربع حالات توضيحها كما يلي :

الحالة الأولى :

أن يكون ثلاثي الحدود على الصورة أ س² + ب س + جـ ففي هذه الحالة نتبع ما يلي :

1-             نمثل المقدار المعطى في الربع الأول من البطاقة الجبرية على صورة مستطيل .

2-     نضع القطع الجبرية المناسبة لأضلاع هذا المستطيل في المجرى الأفقي والرأسي للبطاقة ويكون حاصل ضربهما هو ناتج هذا التحليل ، والمثال التالي يوضح ذلك :

مثال :

حلل س² + 5 س + 6 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟

الحل :

                نقوم بالخطوات التالية :

1-             نمثل المقدار المعطى في الربع الأول من البطاقة الجبرية على صورة مستطيل كما في الشكل التالي :

                  2- نضع القطع الجبرية المناسبة لأضلاع هذا المستطيل في المجرى الأفقي والرأسي للبطاقة كما في الشكل التالي :

أي أن س² + 5 س + 6 = ( س + 3 ) ( س + 2 )

وهو المطلوب .

         نشاط :

الحالة الثانية :

أن يكون ثلاثي الحدود على الصورة أ س² _ ب س + جـ ففي هذه الحالة نتبع الخطوات التالية :

1-             نضع الحد الأول في الربع الأول .

2-             نضع الحد الثاني موزعاً بالتساوي على الربعين الثاني والرابع .

3-     نضع الحد الثالث في الربع الثالث بحيث يكَوِّن مستطيلاً ( باعتبار عدم وجود مجرى أفقي ورأسي للبطاقة ) .

4-     نضع القطع الجبرية المناسبة لضلعي هذا المستطيل في المجرى الأفقي والرأسي للبطاقة وبالتالي يكون حاصل ضربهما هو ناتج التحليل ، والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال :

        حلل س² _ 4 س + 4 باستخدام البطاقة الجبرية ؟

الحل :

أي أن س² _ 4 س + 4 = ( س _ 2 ) ( س _ 2 )

وهو المطلوب .

       نشاط :

                حلل س² _ 2 س + 1 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟

الحالة الثالثة :

أن يكون ثلاثي الحدود على الصورة أ س² + ب س _ جـ ففي هذه الحالة نتبع الخطوات التالية :

1-             نمثل الحد الأول والثاني بالقطع المناسبة في الربع الأول للبطاقة .

2-             نمثل الحد الثالث بالقطع المناسبة إما في الربع الثاني أو الثالث للبطاقة .

3-     نكمل بناء المستطيل لهذه الحدود ( باعتبار عدم وجود أي مجرى أفقي ورأسي للبطاقة ) بإضافة المقدار الصفري.

4-     نضع القطع الجبرية المناسبة لضلعي هذا المستطيل في المجريين الأفقي والرأسي وبالتالي حاصل ضربهما هو ناتج التحليل المطلوب ، والمثال التالي يوضح
ذلك .

مثال :

                حلل س² + س _ 6 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟

الحل :

أي أن س² + س _ 6 = ( س + 3 ) ( س _ 2 )

وهو المطلوب .

       نشاط :

الحالة الرابعة :

أن يكون ثلاثي الحدود على الصورة أ س² _ ب س _ جـ وفي هذه الحالة نتبع الخطوات التالية :

1-             نمثل الحد الأول بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الأول .

2-             نمثل الحد الثاني والثالث بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الثاني أو الثالث .

3-             نحاول بناء مستطيل بإضافة المقدار الصفري .

4-     نضع القطع الجبرية المناسبة لضلعي المستطيل في المجريين الأفقي والرأسي ، ويكون حاصل ضربهما هو ناتج التحليل المطلوب ، والمثال التالي يوضح
ذلك .

مثال :

                حلل س² _ س _ 6 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية .

الحل :

أي أن س² _ س _ 6  = ( س _ 3 ) ( س + 2 )

وهو المطلوب .

       نشاط :

                حلل س² _ س _ 2 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية .

وبعد هذا التوضيح والذي به يدرك الطلاب مفهوم التحليل لثلاثي الحدود بصورة محسوسة يمكن للمعلم أن ينتقل إلى توضيح الطريقة العامة في التحليل بصورة مجردة كما وردت في الكتاب المدرسي النص التالي : ( يمكن تحليل ثلاثي الحـدود أ س² + ب س + جـ إلى عاملين وذلك بتحليل العدد ( أ × جـ ) إلى عددين بحيث يكون مجموعهما يساوي ( ب ) الحد الأوسط ) ثم نكمل باقي خطوات هذا التحليل ، والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال :

        حلل س² + 5 س + 6 بالطريقة العامة ؟

الحل :

                نلاحظ أن أ × جـ = 1 × 6 = + 6

                فنبحث عن عددين حاصل ضربهما = +6 وحاصل جمعهما =ب= +5

                وهما + 2 وَ + 3 فيكون التحليل كالتالي :

                س2 + 2 س + 3 س + 6 = س ( س + 2 ) + 3 ( س + 2 )

= ( س + أ ) ( س + 3 )

وهو المطلوب .

        وهكذا في غير ذلك من الأمثلة .

التقويم :

حلل ثلاثيات الحدود التالية باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ثم بالطريقة العامة وقارن الحل .

         أ  ) س² + 9 س _ 10

        ب ) 2 س² + 3 س + 1

الواجب المنزلي :

حلل ثلاثي الحدود س² _ 5 س + 6 باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ثم الطريقة العامة ، وقارن
الحل ؟