( 3 _ 3 ) التحليل بإيجاد العامل المشترك الأكبر
محتويات التعلم :
المفاهيم :
وحيدة الحد – كثيرة الحدود – تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل .
المهارات :
- إيجاد العامل المشترك الأكبر لحدين باستخدام القطع الجبرية .
- تحليل كثيرة الحدود إلى عواملها الأولية بإيجاد العامل المشترك الأكبر .
التعميمات :
- كل عبارة رياضية مكونة من حد واحد يشتمل على معامل عددي وقسم حرفي تسمى وحيدة حد .
- كل مجموعة من وحيدات الحد بينها عملية جمع أو طرح تسمى كثيرة حدود .
- تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل هو كتابتها على صورة حاصل ضرب عواملها الأولية .
الزمن اللازم للتدريس :
حصتان .
الأهداف :
1- أن يعرِّف الطالب وحيدة الحد .
2- أن يعرِّف الطالب كثيرة الحدود .
3- أن يذكر الطالب معنى تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل .
4- أن يوجد الطالب العامل المشترك الأكبر لكثيرة حدود باستخدام القطع الجبرية .
5- أن يحلل الطالب كثيرة حدود إلى عواملها الأولية بطريقة العامل المشترك الأكبر .
الوسائل التعليمية :
القطع الجبرية – البطاقة الجبرية – السبورة – الكتاب المدرسي – جهاز عرض الشفافيات – ورق العمل الخاص بالمدرس .
التهيئة :
يراجع المعلم مع الطلاب بعض ما سبق دراسته من وحيدات الحد التي تعرَّف بأنها عبارة رياضية مكونة من حد واحد يشتمل على معامل عددي وقسم حرفي ، ثم كثيرات الحدود وهي مجموعة من وحيدات الحد بينها عملية جمع أو طرح .
ومن ثم ينتقل المعلم إلى القاسم المشترك الأكبر لعددين وكيفية إيجاده بشكل مختصر
فمثلاً العددان
18 وَ 30 العامل المشترك الأكبر لهما هو 6 .
وعموماً فبالإمكان اتباع طريقة مماثلة لإيجاد العامل المشترك الأكبر لعدة حدود جبرية .
العرض :
بعد ذلك ينتقل المعلم إلى توضيح كيفية الاستفادة من القطع الجبرية في التحليل بطريقة إيجاد العامل المشترك الأكبر لمقدارين والذي يحتاج فيه إلى تكوين مستطيلات ذات بعد مشترك حيث أن أكبر بعد مشترك لهذه المستطيلات هو القاسم المشترك الأكبر والذي يستخدم كثيراً في التحليل وأما في حالة كون العامل المشترك الأكبر للمقدارين هو الواحد فإن المقدارين يعتبران أوليان فيما بينهما .
فمثلا
: المقدارين 6 س2 وَ 2 س يمكننا أن نكون لهما مستطيلات ذات بعد مشترك
كالتالي :
أي أن أكبر بعد مشترك لهذه المستطيلات التي تمثل المقدارين 6 س2 وَ 2 س هو 2 س حيت يعتبر هو العامل المشترك الأكبر لهذين المقدارين .
مثال :
أوجد العامل المشترك الأكبر للمقدارين 6 س ص وَ 3 ص .
الحل :
نكوِّن لهذين المقدارين مستطيلات ذات أكبر بعد مشترك كالتالي :
فنلاحظ أن 3 ص هو أكبر بعد مشترك لهذين المقدارين أي أن 3 ص هو العامل المشترك الأكبر لهما .
نشاط :
أوجد العامل المشترك الأكبر للمقدارين 8 س2 وَ 4 س باستخدام القطع الجبرية .
الحل :
بعد ذلك يمكن للمعلم بناءً على ما سبق أن ينتقل إلى تحليل كثيرة الحدود بطريقة
إيجاد العامل المشترك الأكبر
( الذي يعني كتابة المقدار المراد تحليله على صورة ضرب عوامل ( تكوين مستطيلات )
وأكبر هذه العوامل (أبعاد المستطيلات) هو العامل المشترك الأكبر للحدود في ذلك
المقدار ، كما في المثال التالي :
مثال :
حلل كثيرة الحدود 6 س2 + 2 س إلى عوامل باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟
الحل :
1- مر معنا في مثال سابق أن العامل المشترك الأكبر للمقدارين 6 س2 وَ 2 س هو 2 س والذي يمثِّل أكبر بعد مشترك للمستطيلات التي تمثل هذين المقدارين .
2 - نضع القاسم المشترك الأكبر 2 س على المجرى الأفقي للبطاقة الجبرية كما في الشكل
3- نمثل المقدار المطلوب تحليله على البطاقة حسب إشارة كل حد شريطة أن يكون أحد بعديه يمثل القاسم المشترك الأكبر 2 س كما في الشكل التالي :
4- نضع في المجرى الرأسي للبطاقة المقادير المناسبة فتكون مقادير المجرى الأفقي والرأسي هي العاملان للتحليل المطلوب كما في الشكل التالي :
أي أن 6 س2 + 2 س = 2 س ( 3 س + 1 )
مثال :
حلل كثيرة الحدود 3 س ص _ ص2 إلى عوامل باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟
الحل :
- نلاحظ أن أكبر بعد مشترك للمستطيلات التي تمثل هذين المقدارين هو ص .
نضع القطع الجبرية التي تمثل ص في المحور الأفقي للبطاقة الجبرية ومن ثم نمثل المقدار المعطى على البطاقة كل حد حسب إشارته ثم نضع في المجرى الرأسي القطع الجبرية المناسبة كما في الشكل التالي :
أي أن 3 س ص _ ص2 = ص ( 3 س _ ص )
وهو المطلوب .
نشاط :
حلل كثيرة الحدود _ 2 س2 _ 4 س إلى عوامل باستخدام البطاقة والقطع الجبرية .
وبعد هذا العرض المبني على المحسوس فإنه بإمكان المعلم الآن أن ينتقل بالطلاب إلى تحليل كثيرة الحدود بطريقة إيجاد العامل المشترك الأكبر بشكل مجرد كما في الأمثلة التالية :
مثال :
حلل كثيرات الحدود التالية إلى عوامل بطريقة إيجاد العامل المشترك الأكبر :
أ ) 6 أ س2 _ 9 ب س2 +12 س2
ب) 15 س4 ص2 _ 10 س6 ص4 + 20 س3 ص
الحل :
أ ) العامل المشترك الأكبر للحدود هو 3 س2
إذاً : 6 أ س2 _ 9 ب س2 + 12 س2
= 2 أ س2 _ 3 ب س2 + 4 س2
= 3 س2 ( 2 أ _ 3 ب + 4 ) ( بالقسمة على 3 )
ب ) العامل المشترك الأكبر للحد هو س3 ص
إذاً : 15 س4 س2 _ 10 س6 ص4 + 20 س3 ص
= 3 س4 ص2 _ 2 س6 ص4 + 4 س3 ص
= س3 ص ( 3 س ص _ 2 س3 ص3 + 4 )
التقويم :
- ما المقصود بوحيدة الحد ؟
- ما المقصود بكثيرة الحدود ؟
- ما المقصود بتحليل كثيرة حدود إلى عوامل ؟
- أوجد العامل المشترك الأكبر لكثيرة الحدود 2 س2 _ 2 س ؟
- حلل كثيرة الحدود التالية إلى عوامل : 7 أ2 ب3 + 14 أ ب2 ؟
الواجب المنزلي :
حلل كثيرة الحدود التالية إلى عوامل : س3 ص _ 2 س2 ص ؟