حل معادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد بطريقة إكمال المربع

( 3 - 11 ) حل معادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد بطريقة إكمال المربع

محتويات التعلم :

المهارات :

- أن يكمل الطالب عبارة رياضية على الصورة : أ س2 + ب س لتصبح مربعاً كاملاً باستخدام القطع الجبرية .

- أن يحل الطالب معادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد بطريقة إكمال المربع باستخدام القطع الجبرية .

الزمن اللازم للتدريس :

حصتان

الأهداف :

1- أن يستخدم الطالب القطع الجبرية لإكمال عبارة رياضية على الصورة أ س² + ب س لتصبح مربعاً كاملاً .

2- أن يستخدم الطالب القطع الجبرية لحل معادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد بطريقة إكمال المربع .

الوسائل التعليمية :

القطع الجبرية - البطاقة الجبرية - السبورة - جهاز عرض الشفافيات - ورق العمل الخاص بالدرس .

التهيئة :

يذكر المعلم الطلاب بالصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد هي :

أ س² + ب س + جـ

كما يذكرهم أيضاً بأن المتطابقة الأساسية الأولى وهي :

( س+ ص )² = س² + 2 س ص + ص²

العرض :

يكتب المعلم على السبورة الصورة التالية :

أ س² + ب س

ويطلب من الطلاب ملاحظاتهم على هذه الصورة مقارنة بالصورة العامة لمعادلة الدرجة الثانية في مجهول واحد في طرفها الأيمن والذي هو على الصورة :

أ ب² + ب س + جـ والمطلوب الآن هو كيف يمكن أن نجعل هذا المقدار المعطى مربعاً كاملاً ، والأمر هنا لا يخلو من حالتين :

الحالة الأولى :

أن يكون المقدار يمثل مربع مجموع حدين على الصورة أ س² + ب س وفي هذه الحالة نتبع الخطوات التالية :

1- نمثل هذا المقدار بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الأول من البطاقة .

2- نقوم ببناء مربع في هذا الربع بإضافة القطع الجبرية المناسبة والتي تمثل الحد ( جـ ) .

3- نضع في المجرى الأفقي والرأسي القطع الجبرية المناسبة وبالضرورة تكون متماثلة وهو ما يمثل مربع مجموع حدين .

والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال :

أكمل العبارة س² + 6 س لتصبح مربعاً كاملاً باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟

الحل :

نتبع الخطوات التالية :

1- نمثل هذا المقدار بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الأول من البطاقة الجبرية كما في الشكل التالي :

2 - نقوم ببناء مربع في هذا الربع بإضافة القطع الجبرية المناسبة ومقدار الإضافة يمثل الحد
( جـ ) كما في الشكل التالي :

3- نضع في المجرى الأفقي والرأسي القطع الجبرية المناسبة والتي تكون بالضرورة متماثلة وهي ما تمثل مربع مجموع حدين كما في الشكل التالي :

أي أن ( س + 3 )² = س² + 6 س + 9 فيكون المقدار المضاف على العبارة (س² + 6 س) لكي تصبح مربعاً كاملاً = 9 .

نشاط :

أكمل العبارة : س² + 4 س لتصبح مربعاً كاملاً باستخدام البطاقة والقطع الجبرية .

الحل :

الحالة الثانية :

أن يكون المقدار المعطى يمثل مربع الفرق بين حدين على الصورة :

أ² س² _ ب س وفي هذه الحالة نتبع الخطوات التالية :

1- نمثل الحد الأول بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الأول للبطاقة الجبرية .

2- نمثل الحد الثاني بالقطع الجبرية المناسبة موزعة بالتساوي بين الربعين الثاني والرابع للبطاقة .

3- نبني مربعاً بإضافة المقدار الصفري بالقطع الجبرية المناسبة في الربع الثالث ، وتكون هذه القطع تمثل الحد ( جـ ) [ وذلك باعتبار عدم وجود المجرى الأفقي والرأسي للبطاقة ] .

4- نقوم بوضع القطع الجبرية المناسبة في المجريين الأفقي والرأسي وحاصل ضربهما يمثل مربع الفرق بين الحدين .

والمثال التالي يوضح ذلك .

مثال :

أكمل العبارة س² _ 6 س لتصبح مربعاً كاملاً باستخدام البطاقة والقطع الجبرية ؟

الحل :

بتنفيذ الخطوات المشار إليها يكون لدينا الأشكال التالية :

أي أن ( س _ 3 )² = س² _ 6 س + 9 فيكون المقدار المضاف على العبارة (س2_6 س) لتصبح مربعاً كاملاً = 9 .

نشاط :

أكمل العبارة س² _ 4 س لتصبح مربعاً كاملا باستخدام البطاقة والقطع الجبرية .

مما سبق يتضح أننا لكي نكمل عبارة لتصبح مربعاً كاملاً نضيف إليها مربع نصف معامل س .

بعد ذلك ينتقل المعلم إلى شرح حل معادلات الدرجة الثانية في مجهول واحد بطريقة إكمال المربع والذي لا يخلو من حالتين أيضاً .

إما أن تكون المعادلة على الصورة : أ س² + ب س + جـ = 0

أو على الصورة : أ س² _ ب س + جـ = 0 على أن يمثل الطرف الأيمن مربعاً كاملاً وتفصيل ذلك سبق عند ذكر طريقة إكمال عبارة رياضية لتصبح مربعاً كاملاً إلا أننا هنا وبعد اتباع الخطوات المذكورة نساوي الطرف الأيمن بالصفر ليظهر لنا حل المعادلات المعطاة والأمثلة التالية توضح ذلك .

مثال :

حل المعادلة س² + 6 س + 9 = 0 بطريقة إكمال المربع ؟

الحل :

باتباع الخطوات المذكورة سابقاً على الطرف الأيمن تكون لدينا الأشكال التالية :