مجموعة الأعداد

 

 

يمكن تقسيم الأعداد إلى مجموعتين لتسهيل دراستها وهتين المجموعتين هما  

 

 

 

أولاً : الأعداد الزوجية

 

 

 

 هل يمكن توزيع كل مجموعة إلى صفين متساويين  في العدد ؟ لماذا ؟

 

 

 

مثلاً : العدد 10 يتم تقسيمه على 2 فنجد أنه ينقسم إلى خمسة مجموعات تحتوي كل مجموعة على مربعين ، وليس هناك باقي

أي : -

10 ÷ 2 = 5

إذن العدد 10 عدد زوجي

 

 

 

 

 

يمكن تمثيل الأعداد الزوجية بقطع دينز كحرف ل أ و كمستطيلات  أحد بعديها 2 :

2 × 1

2× 2

2 × 3 …… وهكذا

 

 

 

ما هو الحد العاشر الزوجي ؟

 

لابد من معرفة القاعدة العامة للأعداد الزوجية من أجل معرفة الحد العاشر الزوجي

نعلم أننا نستطيع تمثيلها بقطع دينز كالتالي

 

 

نحصل على مستطيل مكتمل أحد بعديه 2 وعدد القطع في كل صف كالتالي

الأول ( 1 ، 1 )

الثاني ( 2 ، 2 )

الثالث (3 ، 3 )

الرابع ( 4 ، 4 ) .. وهكذا

العاشر ( 10 ، 10 )

بالتالي

القانون العام لإيجاد الأعداد الزوجية = 2 ن

للتأكد إذن   ن = 2ن

للتأكد

الحد الأول = 2 (1) = 2

الحد الثاني = 2 (2) = 4

الحد الثالث = 2 (3) = 6

الحد لرابع = 2 (4) = 8

وهكذا

الحد العاشر = 2 (10 ) = 20

 

 

 

 بالتالي الحد الزوجي العاشر = 20

 

 

 

 

ما هو مجموع الأعداد الزوجية ؟

 

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني  ( ح1  + ح2 ) = ؟

 

نحصل على مستطيل 2 × 3

لو أردنا جمع  الحد الأول + الحد الثاني + الحد الثالث ، ( ح1+ ح23 )= .....؟

 

نحصل على مستطيل 3 × 4

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني + الحد الثالث + الحد الرابع ، ( ح12 + ح34)= .......؟

 

 

نحصل على مستطيل 4 × 5  وهكذا .

بالتالي :

ح1 + ح2 = مستطيل ( 2 × 3 )

ح 1 + ح2 + ح3 = مستطيل ( 3 × 4 )

ح1 + ح2 + ح3 + ح 4 = مستطيل ( 4 × 5 )

وهكذا 000000

لو أردنا جمع الحدود من الحد الأول إلى الحد العاشر يكون

ح1        ح10  = مستطيل ( 10 × 11 ) = 110

وهو نفس الناتج لو استخدمنا قانون

مربع نص: ن
2
 
 
 

 

مجموع الحدود العشرة الزوجية الأولى

 

 =  ( الحد الأول + الحد الأخير )

مربع نص: 10
 2
 

  
 

  =  ( 2 + 20 )  =  5 (22)  =  110

 

___________________________________---

 

 

 

 

ثانياً : الأعداد الفردية

 

 

 

هل يمكن توزيع كل مجموعة إلى صفين متساويين في العدد؟ لماذا

 

 

 

مثلاً :

لنتعرف على العدد 11 هل هو العدد الفردي أي هل  إذا قسم على 2 كان ناتج القسمة بباقي .

11  ÷ 2 = 5 والباقي 1

نحصل على خمسة مجموعات في كلاً منها مكعبين ويبقى لدينا مكعب واحد  بالتالي هو عدد فردي

   بالتالي

 

 

 

يمكن تمثيل الأعداد الفردية كحرف ل  أو مستطيلات غير مكتملة كالتالي :

 

 

 

 

 

ما هو الحد العاشر الفردي ؟

 

من أجل معرفة الحد العاشر الفردي لابد من معرفة القاعدة العامة للأعداد الفردية نعلم أننا نستطيع تمثيل الأعداد الفردية بقطع دينز كالتالي  :

 

وكأني ابني مستطيل غير مكتمل أحد بعديه 2 وعدد القطع في كل صف

الأول ( 1 ، 0 )

الثاني ( 2 ، 1 )

الثالث ( 3 ، 2 )

الرابع ( 4 ، 3 )

العاشر(10 ، 9 )

 

بالتالي :

القانون العام لإيجاد الأعداد الفردية = ( 2ن – 1 )

                          بالتالي      ن  = 2ن – 1

للتأكد :-

الحد الأول = 2 (1) –1 = 1

الحد الثاني = 2 (2) –1 = 3

الحد الثالث = 2 (3) –1 = 5

الحد الرابع = 2 (4) – 1 = 7

وهكذا 00000000000

 

 

 أذن  الحد العاشر = 2 ( 10 ) – 1 = 19

 بالتالي الحد الفردي العاشر = 19

 

 

ما هو مجموع الأعداد الفردية ؟

 

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني, ( ح1 + ح2 ) = ....؟

 

نحصل على مربع طوله 2 وعرضه 2 ومساحته = 2× 2 = 2 =4

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني + الحد الثالث, ( ح123)= .....؟

 

نحصل على مربع طوله 3 وعرضه 3 ومساحته = 3× 3= 3 = 9

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني + الحد الثالث + الحد الرابع , (ح1+ح2+ح3+ح4)=؟

 

نحصل على مربع طوله 4 وعرضه 4 ومساحته=4×4 =24= 16

بالتالي

ح1 + ح2 = 2

ح1 + ح2 + ح3 = 3

ح1 + ح2 + ح3 + ح4 = 4

ح1 + ح2 + ح3 + ح4 + ح5 = 5

ولو أريد جمع الحدود من الحد الأول إلى الحد العاشر يكون =210 = 10 × 10 = 100

وهو نفس الناتج استخدمه القانون

مجموع الحدود العشرة الأولى الفردية

مربع نص: ن
2
 

 

 

 =    ( الحد الأول + الحد الأخير )

مربع نص: 10
 2

  

  =    ( 10 + 19 )

مربع نص: 10
 2

  

 =    (20 ) = 5×20= 100

 

وهو نفس الناتج السابق  .

 

 

 

مجموع الأعداد المتتالية

 

 

مجموع العشرة حدود الأولى ( الزوجية , الفردية )

نعلم أن مجموع العشرة حدود الزوجية الأولى = 110

ونعلم أن مجموع العشرة حدود الفردية الأولى = 100

ولإيجاد مجموع العشرة حدود من الأعداد المتتالية يمكن إيجادها بالقانون السابق :

ـــــ ( ح1 + ح2 ) = ـــــ ( 1 + 10 ) = 5 ( 11 ) = 55

 

يمكن أن نجعل التلميذة تستنتج العلاقة بنفسها :-

 

 

 

 

عند جمع عشرة حدود متتالية احصل على الشكل السابق وإذا كررة نفس الشكل وقمة بنقلة احصل على مستطيل ( 10 × 11 )

مساحته = 10 × 11 = 110

وإذا أردن مجموع الحدود العشرة المتتالية مرة واحدة فقط بالتالي :

       = =  55

 

بالتالي فإن مجموع العشرة حدود المتتالية = 55

وهو نفس الرقم الذي حصلنا عليه من القانون السابق  .

مربع نص: ن (ن+ 1 )
    2

 

وتكون الصيغة العامة لمجموع الأعداد المتوالية على النحو التالي :

 

                      

حيث ن عدد الأعداد المطلوب جمعها .