مجموعة الأعداد

يمكن تقسيم الأعداد إلى مجموعتين لتسهيل دراستها وهتين المجموعتين هما  

أولاً : الأعداد الزوجية

 هل يمكن توزيع كل مجموعة إلى صفين متساويين  في العدد ؟ لماذا ؟

مثلاً : العدد 10 يتم تقسيمه على 2 فنجد أنه ينقسم إلى خمسة مجموعات تحتوي كل مجموعة على مربعين ، وليس هناك باقي

أي : -

10 ÷ 2 = 5

يمكن تمثيل الأعداد الزوجية بقطع دينز كحرف ل أ و كمستطيلات  أحد بعديها 2 :

2 × 1

2× 2

ما هو الحد العاشر الزوجي ؟

لابد من معرفة القاعدة العامة للأعداد الزوجية من أجل معرفة الحد العاشر الزوجي

نحصل على مستطيل مكتمل أحد بعديه 2 وعدد القطع في كل صف كالتالي

الأول ( 1 ، 1 )

الثاني ( 2 ، 2 )

الثالث (3 ، 3 )

الرابع ( 4 ، 4 ) .. وهكذا

العاشر ( 10 ، 10 )

بالتالي

القانون العام لإيجاد الأعداد الزوجية = 2 ن

للتأكد إذن   ن = 2ن

للتأكد

الحد الأول = 2 (1) = 2

الحد الثاني = 2 (2) = 4

الحد الثالث = 2 (3) = 6

الحد لرابع = 2 (4) = 8

وهكذا

الحد العاشر = 2 (10 ) = 20

 بالتالي الحد الزوجي العاشر = 20

ما هو مجموع الأعداد الزوجية ؟

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني  ( ح₁  + ح₂ ) = ؟

نحصل على مستطيل 2 × 3

نحصل على مستطيل 3 × 4

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني + الحد الثالث + الحد الرابع ، ( ح₁ +ح₂ + ح₃ +ح₄)= .......؟

نحصل على مستطيل 4 × 5  وهكذا .

بالتالي :

ح₁ + ح₂ = مستطيل ( 2 × 3 )

ح ₁ + ح₂ + ح₃ = مستطيل ( 3 × 4 )

ح₁ + ح₂ + ح₃ + ح ₄ = مستطيل ( 4 × 5 )

وهكذا 000000

لو أردنا جمع الحدود من الحد الأول إلى الحد العاشر يكون

ح₁        ح₁₀  = مستطيل ( 10 × 11 ) = 110

وهو نفس الناتج لو استخدمنا قانون

مجموع الحدود العشرة الزوجية الأولى

  =  ( 2 + 20 )  =  5 (22)  =  110

___________________________________---

ثانياً : الأعداد الفردية

هل يمكن توزيع كل مجموعة إلى صفين متساويين في العدد؟ لماذا

مثلاً :

لنتعرف على العدد 11 هل هو العدد الفردي أي هل  إذا قسم على 2 كان ناتج القسمة بباقي .

11  ÷ 2 = 5 والباقي 1

نحصل على خمسة مجموعات في كلاً منها مكعبين ويبقى لدينا مكعب واحد  بالتالي هو عدد فردي

يمكن تمثيل الأعداد الفردية كحرف ل  أو مستطيلات غير مكتملة كالتالي :

ما هو الحد العاشر الفردي ؟

من أجل معرفة الحد العاشر الفردي لابد من معرفة القاعدة العامة للأعداد الفردية نعلم أننا نستطيع تمثيل الأعداد الفردية بقطع دينز كالتالي  :

وكأني ابني مستطيل غير مكتمل أحد بعديه 2 وعدد القطع في كل صف

الأول ( 1 ، 0 )

الثاني ( 2 ، 1 )

الثالث ( 3 ، 2 )

الرابع ( 4 ، 3 )

العاشر(10 ، 9 )

بالتالي :

القانون العام لإيجاد الأعداد الفردية = ( 2ن – 1 )

                          بالتالي      ن  = 2ن – 1

للتأكد :-

الحد الأول = 2 (1) –1 = 1

الحد الثاني = 2 (2) –1 = 3

الحد الثالث = 2 (3) –1 = 5

الحد الرابع = 2 (4) – 1 = 7

وهكذا 00000000000

 أذن  الحد العاشر = 2 ( 10 ) – 1 = 19

ما هو مجموع الأعداد الفردية ؟

لو أردنا جمع الحد الأول + الحد الثاني, ( ح₁ + ح₂ ) = ....؟

نحصل على مربع طوله 2 وعرضه 2 ومساحته = 2× 2 = 2 =4

نحصل على مربع طوله 3 وعرضه 3 ومساحته = 3× 3= 3 = 9

نحصل على مربع طوله 4 وعرضه 4 ومساحته=4×4 =²4= 16

بالتالي

ح₁ + ح₂ = 2

ح₁ + ح₂ + ح₃ = 3

ح₁ + ح₂ + ح₃ + ح₄ = 4

ح₁ + ح₂ + ح₃ + ح₄ + ح₅ = 5

ولو أريد جمع الحدود من الحد الأول إلى الحد العاشر يكون =²10 = 10 × 10 = 100

وهو نفس الناتج استخدمه القانون

مجموع الحدود العشرة الأولى الفردية

 =    ( الحد الأول + الحد الأخير )

  =    ( 10 + 19 )

 =    (20 ) = 5×20= 100

وهو نفس الناتج السابق  .

مجموع الأعداد المتتالية

مجموع العشرة حدود الأولى ( الزوجية , الفردية )

نعلم أن مجموع العشرة حدود الزوجية الأولى = 110

ونعلم أن مجموع العشرة حدود الفردية الأولى = 100

ولإيجاد مجموع العشرة حدود من الأعداد المتتالية يمكن إيجادها بالقانون السابق :

ـــــ ( ح₁ + ح₂ ) = ـــــ ( 1 + 10 ) = 5 ( 11 ) = 55

عند جمع عشرة حدود متتالية احصل على الشكل السابق وإذا كررة نفس الشكل وقمة بنقلة احصل على مستطيل ( 10 × 11 )

مساحته = 10 × 11 = 110

وإذا أردن مجموع الحدود العشرة المتتالية مرة واحدة فقط بالتالي :

       = =  55

بالتالي فإن مجموع العشرة حدود المتتالية = 55

وهو نفس الرقم الذي حصلنا عليه من القانون السابق  .

وتكون الصيغة العامة لمجموع الأعداد المتوالية على النحو التالي :