النسبة المئوية
غالباً ما يتم تدريس التطبيقات على درس النسبة المئوية بحل مسائل تحتاج لفهم التناسب وأحياناً تحتاج للجبر وهذا الأسلوب غالباً ما يكون صعباً على معظم الطلاب لعدم اتقانهم المفاهيم الجبرية ، وهناك أسلوب أقل صعوبة لتدريس مفهوم النسبة المئوية بطريقة محسوسة يتلخص في تمثيل النسبة المئوية على أنها جزء من مائة .
ويمكننا استخدام المربع 10×10 في حل العديد من المسائل على النسبة المئوية ولكن يفضل قبل حل المسائل أن يتعامل الطلاب مع صورة للمربع وتظليل جزء منها أو إعطائهم جزء مظلل ويُطلب منهم تحديد نسبة الجزء المظلل .
فالمربع الأحمر يمثل الوحدة وكل مستطيل يمثل واحد من عشرة والمربع الصغير يمثل واحد من مئة
وبعد أن كوّن الطلاب فكرة عن المربع يمكنهم تصور أن 100 في المئة عبارة عن المربع الكبير وأن واحد في المئة يمكن تمثيله على أنه المربع الصغير . وعليه يمكن تمثيل أي عدد من المئة المئة على النحو التالي :
فالشكل الأيمن يمثل 15 في المئة والأيسر يمثل 23 في المئة
وبالتالي إذا كان المربع الكبير يمثل عدداً معيناً ، فإن المربع الصغير يمثل هذا العدد مقسوماً على 100 ولإيضاح الفكرة للطلاب وتقريبها لهم يمكن التفكير في العدد على أنه مبلغ يُراد تقسيمه على عدد المربعات الصغيرة لمعرفة ما يخص كل مربع صغير .
فعلى سبيل المثال إذا كان كامل المربع الكبير يمثل 400 شخص فإن المربع الصغير يمثل أربعة أشخاص وذلك تقسيمه 400 ÷ 100 = 4 أشخاص ، وبنفس الطريقة إذا كان المربع الكبير يمثل 85 كيلو فإن المربع الصغير يمثل 0.85 كيلو وذلك بقسمة 85 على 100 . أما إذا كان المربع الكبير يمثل 165 ريالاً ، فإن المربع الصغير يمثل 1.65 ريالاً .
إن حل المسائل المتعلقة بالنسبة المئوية يعتمد اعتماداً كبيراً على فهم طريقة إيجاد قيمة المربع الصغير من الشبكة .
مثال 1: إذا كانت المربع الكبير يمثل 400 شخص ، فأوجد الآتي :
أ ) عدد الأشخاص الذين يمثلهم ربع المربع الصغير .
ب) عدد الأشخاص الذين يمثلهم نصف المربع الصغير .
ج ) عشرة مربعات صغيرة .
د ) الجزء الذي يمثل 200 شخص .
هـ) الجزء الذي يمثل 100 شخص .
و ) الجزء الذي يمثل 40 شخصا .
ز ) الجزء الذي يمثل 4 أشخاص .
مجموع الأشخاص 400 .
المربع الواحد يمثل 4 أشخاص .
والشخص الواحد يمثل 0.25 % من المربع الكبير .
والشخصان يمثلان 0.5 % من المربع الكبير .
10 مربعات تمثل 40 شخصا .
200 شخص يمثلون 50% من المربع الكبير .
100 شخص يمثلون 25% من المربع الكبير .
40 شخصا يمثلون 10% من المربع الكبير .
4 أشخاص يمثلون 1 % من المربع الكبير .
وبعدها يمكن الانتقال إلى الخطوة التي يتم فيها تحديد قيمة معينة لواحد من المربعات الصغيرة أو أكثر من مربع واحد وإيجاد قيمة كامل المربع الكبير .
مثال 2: إذا كان 12 مربعاً صغيرا تمثل العدد 30 ، فما العدد الذي يمثله المربع الكبير ؟
لمعرفة المطلوب يحسن أن نعرف ما يمثله المربع الواحد الصغير . إذا كان 12 مربعاً صغيرا تمثل العدد 30 ، فإن المربع الواحد الصغير يمثل 30 ÷ 12 = 2.5 . وبالتالي فإن المربع الكبير يمثل 2.5 × 100 = 250 .
مثال 3 : إذا كان 160 مربعا صغيرا تمثل العدد 384 ريال ، فإن المربع الصغير الواحد يمثل 384 ÷ 160 = 2.4 وعليه فإن المربع الكبير يمثل 240 ريال
ويمكن وضع المسألة السابقة في صورة تقليدية على النحو التالي :
إذا كان لدى التاجر بضاعة ورفع سعرها 60% فأصبح السعر الجديد 384 ريالاً . فكم كان سعر البضاعة قبل رفعه السعر ؟
حيث المربع الاساسي يمثل السعر قبل الزيادة والستون مربعا صغيرا تمثل الزيادة وهي 60 في المئة وعليه فان 160 مربع تمثل السعر الجديد وهو 384 ريال
وهكذا نرى أن الفكرة في النموذج الجديد لحل المسائل المتعلقة بالنسبة المئوية تعتمد أساساً على معرفة قيمة المربع الصغير .
والأمثلة التالية توضح كيفية استخدام المربع الكبير في حل العديد من المسائل المتعلقة بالنسبة المئوية حيث يوضع الشق الأول من كل مثال تمثيل المعلومات المعطاة أما الشق الآخر فيستخدم الرسم لإيجاد الإجابة على السؤال المطروح . وهذان الشقان يوضحان أهمية فهم المعلومات وتمثيلها بدلاً من التركيز على إيجاد الحل بحفظ قاعدة معينة دون فهم .
مثال 4 : استخدم المربع الكبير لتمثيل 20 في المئة من الطلاب راسبون في الرياضيات . فإذا كان عدد الطلاب 240 طالباً فكم عدد الراسبين ؟
الشق الأول: المعلومات المعطاة يمكن اعتبار المربع الكبير يمثل 240 طالباً وتظليل 20 مربعا صغيرا من الشبكة لتمثيل 20% ، وهم الطلاب الراسبون على النحو التالي :
الشق الآخر : كم عدد الطلاب الراسبين في الرياضيات ؟
يمكن التعرف على العدد من أن الاجمالي 240 ÷ 100 = 2.4
أي أن المربع الواحد الصغير يمثل 2.4
وعليه فإن عشرين مربعاً تمثل 20 × 2.4 = 48 طالباً وهم الطلبة الراسبون .
مثال 5 : بنفس الطريقة يمكن حل مسائل النسبة المئوية الأكثر صعوبة مثل : تبرع رجل بخمسة وعشرين فدان واشترط أن تكون منها 6 فدادين منها حدائق عامة . فما هي النسبة المئوية للحدائق العامة ؟
الشق الأول : تمثيل الخمسة والعشرين فدانا على المربع الكبير وبالتالي تكون قيمة المربع الصغير 0.25 من الفدان بمعنى ربع فدان أي 25 ÷ 100 ، والمطلوب معرفة كم عدد المربعات التي تمثل 6 فدادين .
إذا كان المربع الصغير يمثل ربع فدان فإن كل 4 مربعات صغيرة تمثل فداناً واحداً .
وبالتالي فإن 6 فدادين تمثل 24 مربعا على النحو التالي :
مثال 6 : في إحدى المحافظات 57 مدرسة جديدة تمثل 38% من مجموع مدارس المحافظة فكم عدد مدارس المحافظة ؟
المربع الواحد يمثل 57 ÷ 38 = 1.5 .
المربع الكبير = 100 مربع وهو عدد المدارس = 150 مدرسة .
وبعد هذه الأمثلة التي يمثل فيها المربع الكبير العدد مئة فقط ، نستعرض بعض الأمثلة التي تكون فيها النسبة أكبر من 100 ، حيث يمكن استخدام النموذج السابق المكوّن من خطوتين وتمثيل المعلومات المعطاة في المسألة ثم محاولة الإجابة على الأسئلة المطروحة ، والأمثلة التالية توضح ذلك .
مثال 7 : إذا كان عدد طلاب المدرسة في هذا العام يمثل 135% من عدد طلاب العام المنصرم ، وكان عدد الطلاب في هذه السنة 756 طالباً ، فكم كان عددهم في العام الماضي؟
135 تمثل 756 ، وعليه فالمربع الصغير يمثل 5.6
576 ÷ 135 ، وبالتالي فإن 100 مربع يمثل 560 طالباً ، أي أن عدد طلاب العام المنصرم يساوي 560 طالباً .
والمثال التالي يمثل نوعاً من المسائل التي تتضمن زيادة النسبة وهو نوع من المسائل الأكثر صعوبة بالنسبة للطلاب .
مثال 8 : إذا كانت أرباح أحد المحلات في هذه السنة 32.900 ريال فإذا زادت الأرباح بنسبة 76% في السنة التالية ، فكم تكون أرباح المحل في السنة التالية ؟
يمكن تمثيل الأرباح بالمربع الكبير، وعليه فإن 100 مربع تمثل الأرباح الحالية ، أي 32900
وبالتالي فالمربع الصغير يمثل هذا المقدار مقسوماً على 100 ، أي 329 . أما الأرباح تمثل 76 مربعاً في السنة التالية هي 76 × 329 = 25004 ريالاً .
وعليه فإن إجمالي الأرباح هي :
32900 + 25004 = 57904 ريالاً
والرسم التالي يوضح الفكرة :
مثال 9 : تعتبر التخفيضات من التطبيقات على دروس النسبة المئوية . فإذا أعلنت إحدى المكتبات عن تخفيض قدره 30% على الأقلام ، وكان سعر القلم قبل التخفيض 95 ريال ، فكم يكون سعر القلم بعد التخفيض ؟
المربع الواحد يساوي 95 ÷ 100 = 0.95 ريالا
وبالتالي 30 مربعا تساوي 0.95 × 30 = 28.5
تطرح من قيمة القلم الأساسي 95
وعليه يصبح السعر الجديد بعد التخفيض 95 - 28.5 = 66.5 .
وهناك طريقة أخرى لحل هذه المسألة تتلخص في حساب قيمة القلم بعد تخفيض 30 في المائة من سعره ، أي أن المبلغ المدفوع في هذه الحالة هو 70% ، وهو ما يعادل 70 مربعا . ومن ثم فإن سعر القلم بعد التخفيض يساوي 70 X 0.95 = 66.5 ريالا .
والشكل التالي يوضح الفكرة :
مثال 10 : إذا أعلنت أحد المكتبات عن تخفيض قدره 10% على سعر أحد أنواع الأقلام . فإذا دفع رجل 99 ريالاً ثمنا للقلم بعد التخفيض ، فكم كان سعره قبل التخفيض ؟
هذا النوع من التطبيقات على النسبة المئوية تُحدد فيه قيمة السلعة بعد تخفيض معين ، والمطلوب معرفة السعر قبل التخفيض .
وعليه فما دفعه الرجل يمثل 90% من القيمة الأصلية للقلم ، وبالتالي فإن :
90 مربعا صغيرا تمثل 99 ريالاً
والمربع الصغير يمثل 99 ÷ 90 = 1.1
والمربع الكبير يمثل 1.1 × 100 = 110 ريال .
مثال 11 : اشترى رجل أرضاً بمبلغ معين ثم باعها بمبلغ 650000 ريالاً ، فإذا كان ربحه ربح 225% من سعر الأرض فبكم اشتراها ؟
قد يكون هذا النوع من التطبيقات من أصعب الأنواع ، وبالرغم من ذلك يمكن حلها بنفس الطريقة حيث المربع الكبير يمثل ثمن الشراء وعليه فقد كسب 220 في المئة ويكون ثمن البيع يمثل الشكل التالي :
وبالتالي فإن 325 مربعاً تمثل سعر البيع أي أن كل مربع صغير
يساوي 650000 ÷ 325 = 2000 ريال . وبالتالي فالسعر الأصلي هو
2000 × 100 = 200000 ريال .
ويمكن التأكد من ذلك على النحو التالي :
200000 × 225 = 450000
100
سعر البيع = سعر الشراء + الربح
200000 + 450000 = 650000 ريال .