التعبير عن الكسور الاعتيادية بطريقة أخرى :

        الكسر يمكن أن يكون تعبيراً عن القسمة ، فالكسر   مثلاً هو تعبير عن قسمة واحد على اثنين ، وكذلك الكسر ثلاثة أرباع عبارة عن قسمة 3 على 4 ، وعليه يمكن إجراء القسمة على النحو التالي :

                1 ÷ 2  = 0.5   =     

وكذلك          3 ÷ 4  = 0.75 =   

أما الكسر ربع فيمكن تمثيله على النحو التالي :

                1 ÷ 4  =  0.25  = 

وذلك على اعتبار المربع الذي يحوي مئة جزء يمثل الوحدة . فالجزء المظلل من المربع الكبير هو 25 من أصل 100 ، وواضح أن هذا المقدار يمثل ربع المربع الأساسي .

وكذلك الجزء المظلل من المربع الأساسي هو 50 جزء أي نصف المربع الأساسي ، وواضح أن هذا المقدار يمثل النصف أي أن النصف =  = 0.5

وبالطريقة نفسها تكون ثلاثة أرباع المربع الأساسي بها 75 مربعاً صغيراً ، أي أن

نشاط :

     كيف يمكن تمثيل عملية ضرب 11 × 11 هندسياً ؟

باعتبار المربع الذي في قطع دينز يحتوي على 100 وحدة فإن طول ضلعه يمثل 10 والآخر 10 ليكون 10 × 10 = 100

. وإذا أردنا تمثيل 11 × 11 مثلاً يمكن وضع القطعة ذات الأبعاد 10 × 1 المصاحبة لقطع دينز والتي على الشكل التالي :

إلى جوار المربع لتمثيل العدد 11 على النحو التالي :

ولتمثيل العدد الآخر 11 يمكن وضع قطعة أخرى فوق المربع الأساسي على النحو التالي :

وإكمال الشكل بمكعب الوحدة فنحصل على مربع كامل طول ضلعه 11 والناتج واضح من الرسم

100+10+10+1=121

حيث المربع الكبير به 100 والمستطيل الواحد به عشرة ، وحيث لدينا مستطيلين فيكون الناتج 120 ،  بالإضــافة إلى المــربع الصغـــير فيكــون حاصــل ضرب 11 × 11=121 .  وبالطريقة نفسها يمكن تمثيل 11 × 12 ،  12 × 12 ، 12 × 13 .   أما عملية القسمة فهي عملية عكسية للضرب بمعنى أنه إذا أردنا قسمة 286 على 12 مثلاً كل ما نحتاجه هو بناء مستطيل أحد أبعاده يمثل المقسوم عليه 12 ثم نستخدم بقية القطع التي تمثل 286 لإكمال

هذا المستطيل ، والشكل التالي المقسوم :

نمثل المقسوم عليه 12 على النحو التالي

بحيث يكون أحد بعدي مستطيل

ثم نكمل المستطيل ببقية القطع على البعد الآخر من المستطيل فيكون هو خارج القسمة على النحو التالي :

وبالطريقة نفسها يمكن قسمة 276 ÷ 23 حيث يتم تمثيل المقسوم بقطع دينز ثم محاولة بناء مستطيل أحد بعديه يمثل المقسوم  على النحو التالي :

ثم نكون المستطيل الذي أحد بعديه يمثل المقسوم عليه وهو 23 على النحو التالي :

ثم نكمل بناء المستطيل من بقية  القطع على النحو التالي :

والبعد الآخر من المستطيل هو خارج القسمة أي 12

 إلاّ أنه أحياناً يبقى بعض القطع بعد إكمال المستطيل الذي أحد بعديه هو المقسوم عليه فيكون العدد المتبقي هو باقي القسمة ، أما ضلع المستطيل الأول فهو المقسوم عليه والضلع الآخر هو خارج القسمة وهذا تطبيق عملي للقسمة الاقليدية التي سبق دراستها والتي تتضمن على أن :

                المقسوم = خارج القسمة × المقسوم عليه + الباقي

والمثال التالي يوضح الفكرة هندسياً عند قسمة 267 ÷ 11

حيث تم تمثيل المقسوم على النحو التالي

تم تمثيل المقسوم عليه ببناء مستطيل احد بعديه المقسوم عليه وهو 11 كما يلي

واكمال المستطيل ببقية القطع على النحو التالي

حيث يكون خارج القسمة هو 24 والمقسوم عليه هو 11 وتبقى لدينا 3 مربعات . أي أن :

وهكذا فإن : المقسوم 267 يساوي المقسوم عليه × خارج القسمة 24 والباقي 3 يمكن تمثيلها بالمعادلة :

                267 = 11 × 24 + 3

        وبالطريقة نفسها مع إجراء تعديل بسيط يمكن ضرب وقسمة الأعداد العشرية حيث يمكن أن نعتبر المربع الذي يحتوي على 100 جزء يمثل الوحدة

                                            واحد

وعليه يكون المستطيل الذي كان يمثل عشر وحدات سابقاً عبارة عن واحد من عشرة في هذه الحالة

 وكذلك فإن المربع الصغير الذي كان يمثل الوحدة سابقاً هو بمثابة جزء من مئة في هذه الحالة

 وعليه فإن ضرب 1.1 × 1.1 يمكن تمثيلها على النحو التالي :

ويكون الناتج عبارة عن مربع كبير يمثل الواحد ومستطيلين كل منهما يمثل واحد من عشرة ومربع صغير يمثل واحد من مئة فيكون الإجمالي 1.25

وبالطريقة نفسها يمكن ضرب 1.2 × 1.3 :

وكذلك قسمة 2.86 على 1.2

حيث يتم تمثيل المقسوم على النحو التالي :

ثم تمثيل المقسوم عليه على احد بعدي مستطيل على النحو التالي

ووضع القطع على البعد الآخر من المستطيل على النحو التالي

وعليه يكون خارج القسمة هو البعد الثاني من المستطيل 22 والباقي 4

كما يمكن تمثيل  قسمة 7.36 على 2.3

وقسمة 2.76 على 2.3

وعيله يمكن تمثيل القسمة وفهمها سواء القسمة بباق او القسمة بدون باقي وحتى قسمة الاعداد العشرية يمكن تمثيلها