الوحدة السادسة عشر: قسمة الكسور :

من خلال دراستنا للأعداد الصحيحة وقسمتها نعلم أن الطرف الأيسر من المعادلة التالية :   20 ÷ 4 = 5   يعني الإجابة على السؤال التالي : 

 كم أربعة موجودة في العشرين أو العشرين تحتوي على كم أربعة ؟

أو السؤال الذي يسأل عن عدد المجموعات التي يمكن تكوينها من العشرين إذا كانت كل مجموعة بها 4 عناصر .

وبالمثل يمكن تطبيق الفكرة على الأعداد الكسرية ، فالمعادلة :

                           = p

هي ترجمة إلى السؤال التالي :  كم سدس موجود في النصف ؟ وحيث إن النصف يمكن تمثيله بالقطعة الحمراء والسدس يمكن تمثيله بالقطعة الخضراء على اعتبار أن السدس يمثل الوحدة فإن عملية القسمة يمكن تمثيلها  بالسؤال التالي :

كم قطعة خضراء موجودة في الحمراء ؟

وبمقايضة النصف بالقطع الخضراء نحصل على 3 قطع خضراء أي أن الإجابة ثلاثة من القطع الخضراء  

وبالمثل يمكن قسمة ثلثين مثلاً على سدس :       

                          = p

بتمثيل الثلثين

والسؤال عن عدد القطع الخضراء فيهما بمعنى كم قطعة خضراء موجودة في الشكل السابق

 بمقايضة كل ثلث بقطعتين خضراويتين كما في الشكل التالي

 نحصل على 4 قطع خضراء ومعنى ذلك أن الإجابة = 4 قطع خضراء

القسمة أصبحت : 4 ÷ 1 = p

وتمتاز قطع النماذج بإمكانية تغيير قيمة الوحدة ، فعلى سبيل المثال بدلاً من أن تكون القطعة الصفراء تمثل الوحدة يمكن أن تمثل النصف بدلاً من الوحدة ، وفي هذه الحالة تكون قطعتان من القطع الصفراء تمثلان الوحدة على النحو التالي :

وبالتالي فإن القطعة الصفراء تمثل النصف في حين أن القطعة الحمراء تمثل الربع والقطعة الزرقاء تمثل السدس في هذه الحالة ، كما أن القطعة الخضراء تمثل جزء من اثني عشر جزءاً بدلاً من السدس كما كان في الوضع السابق عندما كانت القطعة الصفراء تمثل الوحدة .

 وبهذه الفكرة يمكن توسيع عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة . فعلى سبيل المثال عملية جمع :  يمكن تمثيلها على النحو التالي :

وباستخدام المقايضة نحصل على :

فيكون الجواب خمس قطع خضراء أي خمسة من 12

وبالطريقة نفسها يمكن جمع

واستخدام اسلوب المقايضة يمكن استبدال القطعة الصفراء بقطعتين من القطع الحمراء لدينا 3 قطع حمراء  على النحو التالي

ليكون الجواب ثلاثة أرباع

أو جمع   

وبالمقايضة نحصل على أربع مثلثات على النحو التالي:

وهنا يمكن لنا المقايضة مرة أخرى ليكون الناتج بأقل عدد ممكن من القطع وهو ما يعرف بأبسط صورة للكسر حيث يمكن مقايضة الأربع مثلثات بقطعتين من القطع الزرق اللتين تمثلان الثلث

وبالطريقة نفسها يمكن إجراء عمليات الطرح ، فطرح الربع من النصف يمكن تمثيله على النحو التالي :

وبمقايضة النصف بما يعادله من أرباع نحصل على الشكل التالي :

وبالطريقة نفسها يمكن جمع أو طرح الكسور غير المتحدة المقامات حيث تكمن الفكرة في مقايضة الكسر الأكبر بما يعادله ثم إجراء العملية .

تمارين :

   ·   أحسب  :    ،   ،   ،  

        أما عملية ضرب  فهي كما سبق أن ذكرنا أنها تعادل ثلث النصف . ولكي نمثلها لابد لنا من معرفة النصف أولاً ثم تقسيمه إلى ثلاثة أجزاء ونأخذ أحد هذه الأجزاء الثلاثة فنحصل على ناتج الضرب .

والشكل التالي يمثل الفكرة :

وعليه يكون ثلث النصف هو السدس

ولتمثيل  نصف الثلث نقوم بتمثيل الثلث أولاً ثم نأخذ نصفه وهو السدس

   ·   أما عملية ضرب  

   ·   تتم بتمثيل النصف ( القطعة الصفراء )  ونصفها هو القطعة الحمراء فالشكل التالي يوضحها

او على النحو التالي :

حيث تم تحديد النصف كما في الشكل السابق ثم تحديد نصفه وهو القطعة الحمراء (الربع)

   ·   وبالطريقة نفسها يمكن شرح عملية ضرب  أي ثلثي الربع ، والشكل التالي يوضح الفكرة :

حيث تم تحديد الربع ثم تقسيمه إلى أثلاث واقتطاع ثلثيين مه وهو القطعة الزرقاء الت تمثل السدس

   ·   أما عملية ضرب  فالشكل التالي يوضحها :

حيث تم تحديد الثلث أولاً ثم تقسيمه الى أرباع على النحو التالي :

وثلاث من تلك القطع الأربعة تمثل ثلاثة أربعه وهي بمثابة القطعة الحمراء ( الربع)

نشاط :

على اعتبار أن قطعتين من القطع الصفراء تمثل الوحدة أحسب : نصف الثلث وثلث النصف وقارن بينهما :

الثلث تم تمثيله بقطعتين من القطع الزرقاء ونصف هدا الثلث هو قطعة زرقاء واحدة( سدس )

أما ثلث النصف فيمكن تمثيله بتحديد الصف أولاً كما في الشكل التالي :

ثم اخد ثلثه وهو قطعة واحدة زرقاء ( السدس ) كما في الشكل التالي

قسمة الكسور:

سبق دراسة قسمة الكسور في حال كون القطعة الصفراء تمثل الوحدة ونتعرض الآن لقسمة الكسور  في حال كانت الوحدة عبارة عن قطعتين من القطع الصفراء.

لقسمة   فإن العملية تكون إجابة للسؤال التالي :

كم سدس موجود في النصف ؟ أو النصف يحتوي على كم سدس ؟  وحيث إن القطعة الصفراء تمثل النصف في هذه الحالة الإجابة قد تكون واضحة . فالقطعة الصفراء تحتوي على 3 قطع زرقاء ، أي أن النصف ( القطعة الصفراء )  يساوي 3 أسداس .

والشكل التالي يوضخ الفكرة :

وبالطريقة نفسها يمكن قسمة  . وحيث إن النصف في هذه الحالة يمثل القطع الصفراء والربع يمثل القطعة الحمراء فكأن السؤال هو : كم قطعـة حمراء في القطعة الصفراء ؟ وبالتالي واضح أن الإجابة هي 2 أي أن :  النصف يساوي ربعين .

        أو عند قسمة نحصل على الناتج اثنين على النحو التالي :

وبالطريقة نفسها يمكن قسمة 1 ÷  وقسمة أي كسر على كسر آخر .

أما قسمة   فيمكن تمثيلها على النحو التالي :

ويكون السؤال كم ثلث موجود في النصف

بمعنى كم واحد مثل الشكل التالي

كأننا اعتبرنا القطعتين تمثلان الواحد وكما هو واضح القطعة الصفراء لا تخوي اثنين وإنما واحد ونصف

ويمكن تقريب المفهوم بمقايضة القطعة الصفراء بما يعادلها من الزرقاء ( 3 ) قطع فتصبح عملية القسمة كالتالي   3 قسمة 2 = واحد ونصف

أما إذا أردنا أن نقسم     1 ÷     فإن ذلك معناه الإجابة على السؤال التالي : كم نصف موجود في واحد وثلث ؟ 

        ويمكن تمثيل المقسوم وهو واحد وثلث على النحو التالي :

        وللإجابة عن هذا التساؤل نضع النصف( القطعة الصفراء) فوق المقسوم فنجد أن المقسوم يحتوي على قطعتين ويبقى الجزء الأزرق . والشكل التالي يوضح الفكرة :

وحيث إن هذا الجزء يمثل ثلثين فإن الناتج يكون    2 . 

وعند مقايضة الاثنين بما يعادلها من الأثلاث نجد أنها تحتوي على ستة أثلاث لأن الواحد ثلاثة أثلاث ويكون الإجمالي 8 أثلاث

والشكل التالي يوضح الفكرة