ضرب
الكسور
الأهداف:
1. أن
يوضح الطالب عملية ضرب كسر في عدد صحيح باستخدام قطع النماذج
2. أن
يوضح الطالب عملية ضرب كسرين باستخدام قطع النماذج
3. أن
يوضح الطالب عملية ضرب عدد صحيح في عدد كسري وضرب عدد كسري في كسر وضرب عدد كسري
في عدد كسري
الوسائل
التعليمية:
قطع
النماذج- مذكرة الوحدة الدراسية المقترحة –
السبورة
العرض :
قد
تبدو عملية ضرب الكسور سهلة بالنسبة للأطفال لأنها تبني على قاعدة بسيطة تتمثل في
ضرب البسطين وضرب المقامين . ولكن الأطفال يتعرضون لنسيان أي عملية درست لهم عن
طريق القاعدة فقط .
فضلا
أن حفظه للقاعدة واستخدامها والوصول بها إلى الإجابة الصحيحة لا يعني ذلك أن
التلميذ يفهم ما يعمله أو يكون لديه فكرة عن المفاهيم الأساسية ( الأولية )
للقاعدة.
ولكن
باستخدام الوسائل المحسوسة يمكن للأطفال أن يفهموا إجراءات ضرب كسرين بطريقة
ملموسة وعندئذ يمكنهم اكتشاف وبناء القاعدة أو الخوارزمية بأنفسهم . وحتى لو نسوا
الخوارزمية فيمكنهم تذكر الإجراءات وتكون لديهم القدرة على إعادة بناء العملية
الصحيحة .
1
- ضرب كسر في عدد صحيح
2
- ضرب كسرين
أما
بالنسبة للأعداد الكسرية فيتم تحويلها إلى كسور غير حقيقية ثم تتم عملية ضرب
كسرين, و حيث انه يمكن كتابة العدد الكسري في صورة ( كسر + عدد صحيح ) فان ضرب عدد
كسري في عدد كسري هو عبارة عن
(
عدد كسري × عدد كسري ) = ( كسر × كسر ) + ( كسر × عدد صحيح ) +
( عدد صحيح × كسر ) + ( عدد صحيح × عدد صحيح ) .
ولهذا
فإن حالتي ضرب كسر في عدد صحيح وضرب كسرين تشمل الحالات التالية وهي ضرب عدد صحيح
في عدد كسري وضرب عدد كسري في كسر وضرب عدد كسري في عدد كسري
أولاً-
ضرب كسر في عدد صحيح
باعتبار
أن القطعة الصفراء تمثل الوحدة
× 
2× 
معنى
العبارة الرياضية ( × 2 ) هو
كم
نصف العدد 2 ؟
الإجابة
واحد
ومن
الممكن تطبيق فكرة أن الضرب جمع مكرر لأعداد متساوية 2 × تعني
( + ) أي النصف مكرر مرتين
ومع
ملاحظة أن فكرة الضرب كجمع مكرر لا يمكن تعميمها على حاصل ضرب كسر في كسر
وبالمثل
:
× 2
معنى
العبارة السابقة كم ثلثين العدد 2 ؟
وباستبدال
القطع الصفراء بقطع زرقاء يكون لدينا 
إذن
كل قطعتين تمثل الثلث للعدد 2
وأربع
قطع زرقاء تمثل الثلثين للعدد 2
×2 = 
ومن
الممكن تقديمها بأن الكسر ( ) مكرر مرتين
+
+
=
إذا
كان الشكل التالي يمثل الوحدة
فإن
القطعة الصفراء تمثل النصف وقطعتين زرقاء تمثل الثـلث والقطعة الحمراء تمثـل الربع
والقطعة الزرقاء تمثـل السـدس والقطعة الخضراء تمثل 
،
× 
×2
معنى
العبارة الرياضية ( × 2 )
هو
كم
ربع العدد 2 ؟
الإجابة
هو قطعة صفراء التي تمثل النصف
ومن
الممكن تطبيق فكرة أن الضرب جمع مكرر لأعداد متساوية 2 × تعني
( + ) أي الربع مكرر مرتين
ومع
ملاحظة أن فكرة الضرب كجمع مكرر لا يمكن تعميمها على حاصل ضرب كسر في كسر
وبالمثل
:
×2
معنى
العبارة السابقة كم سدس العدد 2 ؟
وباستبدال
القطع الصفراء بقطع زرقاء يكون لدينا 
.
وبتقسيمها
كالتالي نلاحظ ان سدس العدد 2 هو قطعتين زرقاء وهي تمثل الثلث
×2
= 
ومن
الممكن تقديمها بأن الكسر ( ) مكرر مرتين
+= 
+
ومما
سبق نستنج أن حاصل ضرب عدد في كسر يساوي حاصل ضرب العدد في بسط الكسر مع إبقاء
المقام كما هو مع ملاحظة أن الضرب عملية أبدالية
ثانياً-
ضرب كسرين :
باعتبار
أن القطعة الصفراء تمثل الوحدة :
×
×
المعنى
الحقيقي للعبارة الرياضية السابقة كم ثلث النصف ؟
أو
كم نصف الثلث .
ثلث
النصف هو سدس
و
نصف الثلث هو سدس
× =
بالمثل
×
×
كم
نصف الثلثين ؟
الإجابة
أو
كم ثلثين النصف
الإجابة
سدسين أو ثلث
إذا
كان الشكل التالي يمثل الوحدة
فإن
القطعة الصفراء تمثل النصف وقطعتين زرقاء تمثل الثـلث والقطعة الحمراء تمثـل الربع
والقطعة الزرقاء تمثـل السـدس والقطعة الخضراء تمثل ،
×
×
المعنى
الحقيقي للعبارة الرياضية السابقة كم سدس نصف الواحد ؟
أو
كم نصف سدس الواحد .
نلاحظ
أن النصف يتكون من 6 قطع خضراء
إذن
القطعة الخضراء الواحدة تمثل سدس النصف وهي تساوي
وعليه
فان سدس النصف هو
والسدس
يتكون من قطعتين خضراء
إذن
نصف السدس هو قطعة خضراء تساوي
وعليه
فان نصف السدس هو
× =
ويمكن
توضيحها كالتالي
القطعة
الصفراء تمثل النصف
والقطعة
الخضراء تمثل سدس النصف وما تمثله من الواحد ناتج الضرب
أو
نقول أن القطعة الزرقاء تمثل السدس
والقطعة
الخضراء تمثل نصف السدس وما تمثله من الواحد ناتج الضرب
بالمثل
×
×
كم
نصف الثلثين ؟
الثلثين
تتكون من أربع قطع زرقاء , نصفها قطعتين زرقاء وهي تمثل الثلث
الإجابة
أو
كم ثلثين النصف
النصف
يتكون من ثلاث قطع زرقاء , وثلثين النصف قطعتين زرقاء أي الثلث
الإجابة
سدسين أو ثلث
ويمكن
تمثيل عملية الضرب كالتالي
الجزء
البنفسجي هو نصف الثلثين
الجزء البنفسجي هو ثلثين النصف
ويمكن
تمثيل عملية ضرب الكسرين بمستطيل أبعاده مقام الكسرين
لضرب
× 
نمثل
الكسر الأول رأسياً
( عمود) باللون الأحمر
نمثل
الكسر الثاني أفقياً ( صف) باللون الأزرق
منطقة
التقاطع بين الأعمدة والصفوف المشتركة تمثل ناتج الضرب ( التقاطع هنا في مربع واحد باللون البنفسجي
من 15 مربع موجودة في الرسم وعليه فناتج الضرب هو 
أي
ان ثلث الخمس أو خمس الثلث هو أي × =
وبالمثل
× 
=
و 
× 
=
أما
بالنسبة للأعداد الكسرية فيتم تحويلها إلى
كسور
غير حقيقية ثم تتم عملية ضرب كسرين, و حيث انه
يمكن
كتابة العدد الكسري في صورة ( كسر + عدد صحيح )
فإن
حالتي ضرب كسر في عدد صحيح وضرب كسرين تشمل
الحالات
التالية وهي ضرب عدد صحيح في عدد كسري وضرب
عدد
كسري في كسر وضرب عدد كسرى في عدد كسرى مثل
× 
( +2 )× ( +3 ) = ( × )+(
×3) + (2×) +(2×3)= +1+1+6
=
(
عدد كسري × عدد كسري ) = ( كسر × كسر ) + ( كسر × عدد صحيح ) +
( عدد صحيح × كسر ) + ( عدد صحيح × عدد صحيح ) .
وبالمثل
ضرب عدد صحيح في عدد كسري
2× =2( +2)
=(2× )+(2+2)
= + 4
=
(
عدد صحيح × عدد كسري ) = ( عدد صحيح × كسر ) + ( عدد صحيح × عدد صحيح )
وبالمثل
ضرب كسر في عدد كسري
التقويم
· وضح عملية ضرب كسر في عدد صحيح باستخدام قطع
النماذج؟
· وضح
عملية ضرب كسرين باستخدام قطع النماذج ؟
· لماذا
تم الاقتصار على ذكر حالتي ضرب كسر في عدد صحيح وضرب كسرين ؟